Question

1．【折紙活動(dòng)】矩形紙片的寬度MN為6cm
第一步，在矩形紙片的一端，利用圖1的方法折出一個(gè)正方形，然后把紙片展平．
第二步，如圖2，把這個(gè)正方形折成兩個(gè)全等的矩形，再把紙片展平．第三步，折出內(nèi)側(cè)矩形的對(duì)角線AB，并把它折到圖3中所示的AD處．

【問題解決】
（1）在圖3中，證明四邊形ABQD是菱形；
（2）在圖3中，求四邊形ABQD的面積；
（3）在圖2中，將正方形的邊CN沿CG折，使點(diǎn)N落在AF上的點(diǎn)H處，如圖4所示，求四邊形MGHF的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）利用翻折變換的性質(zhì)以及平行四邊形的判定得出即可；
（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AF，BF的長(zhǎng)度，根據(jù)勾股定理得到AB的長(zhǎng)度，然后根據(jù)菱形的面積公式即可得到結(jié)論；
（3）由平行線等分線段定理，得出GI=CI，然后解直角三角形得到AH的長(zhǎng)度，于是得到FH的長(zhǎng)度，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）由翻折知，AB=AD，∠BAQ=∠DAQ，
∵BQ∥AD
∴∠BQA=∠DAQ．
∴∠BQA=∠BAQ．
∴BA=BQ．
∴AD=BQ．
∴四邊形ADQB是平行四邊形．
∴平行四邊形ADQB是菱形；

（2）由題意得：AF=MN=BM=BC=6cm，BF=$\frac{1}{2}$BM=3cm，
∴AB=$\sqrt{A{F}^{2}+B{F}^{2}}$=3$\sqrt{5}$cm，
∴S_{四邊形ADQB}=3$\sqrt{5}$×6=18$\sqrt{5}$cm²；

（3）如圖，

設(shè)CG交AF于點(diǎn)I，由平行線等分線段定理，
∵M(jìn)N∥AF∥BC，且NA=CA，
∴GI=CI．
∴在Rt△GHC中，GI=CI=HI．
∴∠IHC=∠ICH．
又∠ICA=∠ICH．∠IHC=∠BCH．
∴∠ICA=∠ICH=∠BCH=∠AHC=30°，
∴AH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$CH=3$\sqrt{3}$，
∴FH=6-3$\sqrt{3}$，
∴四邊形MGHF的周長(zhǎng)=MG+GH+FH+MF=MN+FM+FH=6+3+6-3$\sqrt{3}$=15-3$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了幾何變換以及翻折變換的性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)和勾股定理等知識(shí)，熟練利用勾股定理以及翻折變換的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．