Question

17．如圖，在矩形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，點E是BC上的一個動點，連接DE，交AC于點F．
（1）如圖①，當$\frac{CE}{EB}$=$\frac{1}{3}$時，求$\frac{{S}_{△CEF}}{{S}_{△CDF}}$的值；
（2）如圖②，當$\frac{CE}{EB}$=$\frac{1}{m}$時，求AF與OA的比值（用含m的代數(shù)式表示）；
（3）如圖③，當$\frac{CE}{EB}$=$\frac{1}{m}$時，過點F作FG⊥BC于點G，探索EG與BG的數(shù)量關系（用含m的代數(shù)式表示），并說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用相似三角形的性質(zhì)求得EF于DF的比值，依據(jù)△CEF和△CDF同高，則面積的比就是EF與DF的比值，據(jù)此即可求解；
（2）利用相似三角形的對應邊成比例，得出$\frac{AF}{AC}$=$\frac{m+1}{m+2}$，再根據(jù)AC=2OA，即可得出結論；
（3）依據(jù)相似三角形的對應邊成比例，可得$\frac{EF}{DF}$=$\frac{CF}{AF}$=$\frac{CE}{AD}$=$\frac{1}{m+1}$，再根據(jù)FG∥CD，得出$\frac{EG}{CG}$=$\frac{EF}{DF}$=$\frac{1}{m+1}$，根據(jù)FG∥AB，得出$\frac{CG}{BG}$=$\frac{CF}{AF}$=$\frac{1}{m+1}$，兩式相乘即可得到$\frac{EG}{BG}$=（$\frac{1}{m+1}$）²．

解答 解：（1）∵$\frac{CE}{EB}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{CE}{BC}$=$\frac{1}{4}$，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴△CEF∽△ADF，
∴$\frac{EF}{DF}$=$\frac{CE}{AD}$，
∴$\frac{EF}{DF}$=$\frac{CE}{BC}$=$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{{S}_{△CEF}}{{S}_{△CDF}}$=$\frac{EF}{DF}$=$\frac{1}{4}$；


（2）設EC=1，則BE=m，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC=m+1，
∴△CEF∽△ADF，
∴$\frac{CF}{AF}$=$\frac{CE}{AD}$=$\frac{1}{m+1}$，
∴$\frac{AF}{AC}$=$\frac{m+1}{m+2}$，
∵$\frac{OA}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
∴AC=2OA，
∴$\frac{AF}{2OA}$=$\frac{m+1}{m+2}$，
∴$\frac{AF}{OA}$=$\frac{2m+2}{m+2}$；

（3）結論：$\frac{EG}{BG}$=（$\frac{1}{m+1}$）²，理由如下：
設EC=1，則BE=m，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC=m+1，
∴△CEF∽△ADF，
∴$\frac{EF}{DF}$=$\frac{CF}{AF}$=$\frac{CE}{AD}$=$\frac{1}{m+1}$，
∵FG⊥BC，
∴FG∥CD，
∴$\frac{EG}{CG}$=$\frac{EF}{DF}$=$\frac{1}{m+1}$，①
∵FG∥AB，
∴$\frac{CG}{BG}$=$\frac{CF}{AF}$=$\frac{1}{m+1}$，②
由①×②，可得$\frac{EG}{CG}$×$\frac{CG}{BG}$=$\frac{1}{m+1}$×$\frac{1}{m+1}$，
即$\frac{EG}{BG}$=（$\frac{1}{m+1}$）²．

點評 本題屬于相似形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)以及平行線分線段成比例定理的綜合應用，解決問題的關鍵是依據(jù)相似三角形對應邊成比例列式計算．第（3）問的難點在于綜合運用相似三角形的性質(zhì)以及平行線分線段成比例定理．