Question

11．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=-x²+bx與x軸正半軸交于點A，頂點為B，當存在以AB為邊，以點O為對稱中心的矩形時，b的值為2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由矩形的性質知OB=AB、結合拋物線對稱性知△OAB為等邊三角形，作BE⊥OA于點E，則BE=$\sqrt{3}$OE，據此可得$\frac{^{2}}{4}$=$\sqrt{3}$•$\frac{2}$，解之即可．

解答 解：如圖，作△OCD與△OAB關于原點O中心對稱，

則四邊形ABCD為平行四邊形，
當OA=OB時，平行四邊形ABCD為矩形，
由拋物線的對稱性知OB=AB，
∴△OAB為等邊三角形，
作BE⊥OA于點E，
則BE=$\sqrt{3}$OE，
∵y=-x²+bx=-（x-$\frac{2}$）²+$\frac{^{2}}{4}$，
則點B（$\frac{2}$，$\frac{^{2}}{4}$）
∴$\frac{^{2}}{4}$=$\sqrt{3}$•$\frac{2}$（b＞0），
解得：b=2$\sqrt{3}$，
故答案為：2$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查拋物線與x軸的交點，熟練掌握矩形的性質及二次函數的圖象和性質是解題的關鍵．