Question

5．如圖，已知一次函數(shù)y=-x+1的圖象與反比例函數(shù)$y=\frac{k}{x}$的圖象交點(diǎn)A（-3，m）和B（n，-3），直線AB與x軸，y軸分別交于點(diǎn)C、點(diǎn)D．
（1）求反比例函數(shù)；
（2）求△AOB的面積；
（3）結(jié)合函數(shù)圖象直接寫出不等式-$x+1-\frac{k}{x}＞0$的解集．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)A的坐標(biāo)，利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出m值，從而得出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出反比例函數(shù)解析式；
（2）將y=0代入直線AB解析式中求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，再結(jié)合三角形的面積公式以及S_△AOB=S_△AOC+S_△BOC即可得出結(jié)論；
（3）由點(diǎn)B的坐標(biāo)，利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求出n值，從而得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再根據(jù)兩函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系即可得出不等式的解集．

解答 解：（1）∵點(diǎn)A（-3，m）在一次函數(shù)y=-x+1的圖象上，
∴m=-1×（-3）+1=4，
∴A（-3，4）．
∵點(diǎn)A（-3，4）在反比例函數(shù)$y=\frac{k}{x}$的圖象上，
∴4=$\frac{k}{-3}$，解得：k=-12，
∴反比例函數(shù)解析式為y=$\frac{-12}{x}$．
（2）令y=-x+1中y=0，則x=1，
∴C（1，0），
∴S_△AOB=S_△AOC+S_△BOC=$\frac{1}{2}$OC•（y_A-y_B）=$\frac{1}{2}$×1×[4-（-3）]=$\frac{7}{2}$．
（3）∵點(diǎn)B（n，-3）在一次函數(shù)y=-x+1的圖象上，
∴-3=-n+1，解得：n=4，
∴B（4，-3）．
觀察函數(shù)圖象發(fā)現(xiàn)：當(dāng)x＜-3或0＜x＜4時(shí)，一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象的上方，
∴不等式-$x+1-\frac{k}{x}＞0$的解集為x＜-3或0＜x＜4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、三角形的面積以及一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是：（1）求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）根據(jù)S_△AOB=S_△AOC+S_△BOC求出△AOB的面積；（3）根據(jù)兩函數(shù)圖象上下位置關(guān)系解不等式．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出點(diǎn)的坐標(biāo)是關(guān)鍵．