Question

拋物線y=ax²+bx+

3

2

交x軸正半軸于點(diǎn)B及點(diǎn)A（-1，0），交y軸于點(diǎn)C，AB=4．
（1）求拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)D在拋物線y=ax²+bx+

3

2

在第一象限的部分上（CD與x軸不平行），△BCD的面積為

3

2

，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，點(diǎn)P在拋物線y=ax²+bx+

3

2

上，過點(diǎn)P作x軸的垂線，點(diǎn)E為垂足，直線PD交x軸于點(diǎn)F，連接DE，當(dāng)DE=2DF時，求直線PA與x軸所夾銳角的正切值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）求出A、B坐標(biāo)，代入函數(shù)解析式，列出方程組，求出系數(shù)即可；
（2）過點(diǎn)D作y軸的平行線交BC于點(diǎn)G，交x軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)C作CH⊥DG，點(diǎn)H為垂足，根據(jù)S_△BCD=S_△CDG+S_△DGB求出DG=1，
（3）過點(diǎn)D作PE的垂線，點(diǎn)N為垂足，設(shè)點(diǎn)P橫坐標(biāo)t，則P（t，-12t²+t+32），根據(jù)當(dāng)點(diǎn)P位于對稱軸右側(cè)時和點(diǎn)P位于對稱軸右側(cè)時解答．

解答：解：（1）∵A（-1，0），
∴OA=1，
∵AB=4，
∴OB=3，
∴B（3，0），
∴

a-b+ 3 2 =0 9a+3b+ 3 2 =0

，
解得：

a=- 1 2 b=1

，
∴拋物線的解析式為y=-

1

2

x²+x+

3

2

．

（2）如圖（1），過點(diǎn)C作CH⊥DG，點(diǎn)H為垂足，
設(shè)直線BC的解析式為y=mx+n，
∵B（3，0），C（0，

3

2

），
∴

n= 3 2 3m+n=0

，解得

m=- 1 2 n= 3 2

，
∴直線BC的解析式為y=-

1

2

x+

3

2

．
S_△BCD=S_△CDG+S_△DGB
=

1

2

DG•CH+

1

2

DG•BM
=

1

2

（OM+BM）
=

1

2

DG•OB
∵S_△BCD=

3

2

，OB=3，
∴DG=1，
設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為k，則D（k，-

1

2

k²+k+

3

2

），G（k，-

1

2

k+

3

2

），
∴DG=-

1

2

k²+k+

3

2

-（-

1

2

k+

3

2

）=1，
∴-

1

2

k²+

3

2

k=1，
解得k=1或k=2．
當(dāng)k=1時，D（1，2），當(dāng)k=2時，D（2，

3

2

），則CD∥x軸，舍去；
∴D（1，2）．


（3）如圖（2）、圖（3）過點(diǎn)D作y軸的平行線交BC于點(diǎn)G，交x軸于點(diǎn)M，
過點(diǎn)D作PE的垂線，點(diǎn)N為垂足，設(shè)點(diǎn)P橫坐標(biāo)t，則P（t，-

1

2

t²+t+

3

2

），
當(dāng)點(diǎn)P位于對稱軸右側(cè)時，tan∠DPN=

DN

PN

=

t-1

2-(- 1 2 t2+t+ 3 2 )

=

t-1

1 2 (t-1)2

=

2

t-1

，
tan∠DEM=

2

t-1

，
∴∠DPN=∠DEM，
∴∠MDF=∠DPN=∠DEM，
∵∠DMF=∠EMD，
∴△DMF∽△EMD，
∴

DM

EM

=

DF

ED

，
∵DE=2DF，
∴EM=2DM=4，
∴OE=5，
∴t=5，P（5，-6），
∴tan∠PAE=

PE

EA

=

6

6

=1，
當(dāng)點(diǎn)P位于對稱軸左側(cè)時，同理可得：EM=4，OE=3，t=-3，此時P（-3，-6），AE=2，
∴tan∠PAE=

PE

AE

=

6

2

=3．

點(diǎn)評：本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到用待定系數(shù)法求一次函數(shù)及二次函數(shù)的解析式、銳角三角函數(shù)的定義等知識，難度較大．