Question

已知：D是Rt△ABC斜邊BC上的中點，E、F分別在AB、AC上，且ED⊥DF，延長FD到Q，使FD=DQ，連接BQ．
（1）試說明AB⊥BQ的理由；
（2）探究BE²、CF²與EF²有何等量關(guān)系．

Answer 1

（1）連接QE，（1分）
∵D是Rt△ABC斜邊BC上的中點，
∴CD=BD．
又∵FD=DQ，∠FDC=∠QDB，
∴△FDC≌△QDB．
∴∠DBQ=∠C．
∴AC∥BQ．
又∵∠BAC=90°，
∴∠ABQ=90°．
∴AB⊥BQ．

（2）BE²+CF²=EF²
∵∠EBQ=90°，
∴BE²+BQ²=QE²
∵ED⊥DF，
又∵△BQD≌△CFD，
∴DQ=DF．
∴ED是QF的垂直平分線．
∴QE=EF．
∵△DFC≌△DQB，
∴CF=BQ．
∴BE²+CF²=EF²．