Question

已知：D是Rt△ABC斜邊BC上的中點，E、F分別在AB、AC上，且ED⊥DF，延長FD到Q，使FD=DQ，連接BQ．
（1）試說明AB⊥BQ的理由；
（2）探究BE²、CF²與EF²有何等量關系．

Answer 1

解：（1）連接QE，
∵D是Rt△ABC斜邊BC上的中點，
∴CD=BD．
又∵FD=DQ，∠FDC=∠QDB，
∴△FDC≌△QDB．
∴∠DBQ=∠C．
∴AC∥BQ．
又∵∠BAC=90°，
∴∠ABQ=90°．
∴AB⊥BQ．

（2）BE²+CF²=EF²
∵∠EBQ=90°，
∴BE²+BQ²=QE²
∵ED⊥DF，
又∵△BQD≌△CFD，
∴DQ=DF．
∴ED是QF的垂直平分線．
∴QE=EF．
∵△DFC≌△DQB，
∴CF=BQ．
∴BE²+CF²=EF²．
分析：（1）連接QE，證明△BQD≌△CFD，得出∠DBQ=∠C，再證出∠EBQ=90°，從而得出AB⊥BQ．
（2）由Rt△EBQ得出BE²+BQ²=QE²，再由△BQD≌△CFD得出DQ=DF，由ED是QF的垂直平分線，得出QE=EF，從而得到BE²+CF²=EF²．
點評：本題考查了全等三角形的判定及其性質(zhì)、勾股定理、線段垂直平分線的性質(zhì)等知識．