Question

7．如圖，等邊△ABF中，點C，D分別在AF、AB上，線段CD繞點C逆時針旋轉60°到線段CE，點E恰好落在BF上．
（1）若AB=6，AC=2，求AD的長；
（2）若AB=6，求四邊形CDBE面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形的性質可得∠A=∠F=60°，根據(jù)旋轉角是60°求出∠ECF+∠ACD=120°，再根據(jù)三角形內角和定理求出∠FCE+∠FEC=120°，從而得到∠FEC=∠ACD，然后利用“角角邊”證明△FEC≌△ACD，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得CF=AD，然后根據(jù)CF=AF-AC計算即可得解；
（2）設AC=x，由（1）可知CF=AD=6-x，S_△ACD=S_△EFC，根據(jù)S_{四邊形CDBE}=S_△ABF-2S_△ACD，求出S_{四邊形CDBE}═9$\sqrt{3}$-3$\sqrt{3}$x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²，再配方即可求解．

解答 解：（1）∵△ABF是等邊三角形，
∴∠A=∠F=60°，AB=AF=6，
∵∠DCE=60°，
∴∠ECF+∠ACD=120°，
∵∠FCE+∠FEC=120°，
∴∠FEC=∠ACD，
在△FEC和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠F=∠A}\\{∠FEC=∠ACD}\\{EC=CD}\end{array}\right.$，
∴△FEC≌△ACD（AAS），
∴CF=AD，
∵AC=2，
∴CF=AF-AC=6-2=4，
∴AD=4．

（2）設AC=x，由（1）可知CF=AD=6-x，S_△ACD=S_△EFC，
則S_{四邊形CDBE}=S_△ABF-2S_△ACD=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×6²-2×$\frac{1}{2}$•（6-x）•$\frac{\sqrt{3}}{2}$x
=9$\sqrt{3}$-3$\sqrt{3}$x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（x-3）²+$\frac{9\sqrt{3}}{2}$，
故x=3時，四邊形CDBE面積的最小值為$\frac{9\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．也考查了等邊三角形的性質，全等三角形的判定與性質，四邊形的面積，二次函數(shù)的性質．