Question

12．如圖，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象與矩形OABC的邊長AB、BC分別交于點E、F，已知S_△FOC=3 且AE=BE，則：
（1）k=6．
（2）△OEF的面積的值為$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 （1）由S_△FOC=3結(jié)合反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義可得出關于k的一元一次方程，解方程即可得出結(jié)論；
（2）設點E的坐標為（n，$\frac{6}{n}$），則點B（n，$\frac{12}{n}$），結(jié)合個點的特征可得出點F的坐標，由此可用含n的代數(shù)式表示出“AB=$\frac{12}{n}$，OA=n，BF=n-$\frac{n}{2}$=$\frac{n}{2}$，BE=$\frac{6}{n}$”，分割矩形OABC利用矩形的、三角形的面積公式即可求出△OEF的面積．

解答 解：（1）∵S_△FOC=$\frac{1}{2}$|k|=3，
∴k=±6，
又∵k＞0，
∴k=6．
故答案為：6．
（2）設點E的坐標為（n，$\frac{6}{n}$），則點B（n，$\frac{12}{n}$），
令y=$\frac{12}{n}$，則$\frac{12}{n}$=$\frac{6}{x}$，解得：x=$\frac{n}{2}$，
∴點F的坐標為（$\frac{n}{2}$，$\frac{12}{n}$）．
∴AB=$\frac{12}{n}$，OA=n，BF=n-$\frac{n}{2}$=$\frac{n}{2}$，BE=$\frac{6}{n}$．
S_△OEF=S_矩形OABC-S_△OCF-S_△OAE-S_△BEF=OA•AB-$\frac{1}{2}$k-$\frac{1}{2}$k-$\frac{1}{2}$BE•BF=$\frac{12}{n}$•n-$\frac{1}{2}$×6-$\frac{1}{2}$×6-$\frac{1}{2}$$\frac{6}{n}$•$\frac{n}{2}$=$\frac{9}{2}$．
故答案為：$\frac{9}{2}$．

點評 本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義、矩形的性質(zhì)以及三角形的面積公式，解題的關鍵：（1）得出關于k的方程；（2）設出點E的坐標為（n，$\frac{6}{n}$），用函數(shù)n的代數(shù)式去表示各線段的長度．本題屬于基礎題，難度不大，解決該題型題目時，通過分割圖形來求面積是關鍵．