Question

4．如圖1，對于平面內(nèi)小于等于90°的∠MON，我們給出如下定義：若點(diǎn)P在∠MON的內(nèi)部或邊上，作PE⊥OM于點(diǎn)E，PF⊥ON于點(diǎn)F，則將PE+PF稱為點(diǎn)P與∠MON的“點(diǎn)角距”，記作d（∠MON，P）．如圖2，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，x、y正半軸所組成的角為∠xOy．

（1）已知點(diǎn)A（5，0）、點(diǎn)B（3，2），則d（∠xOy，A）=5，d（∠xOy，B）=5．
（2）若點(diǎn)P為∠xOy內(nèi)部或邊上的動點(diǎn)，且滿足d（∠xOy，P）=5，在圖2中畫出點(diǎn)P運(yùn)動所形成的圖形．
（3）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+mx+n經(jīng)過A（5，0）與點(diǎn)D（3，4）兩點(diǎn)，點(diǎn)Q是A、D兩點(diǎn)之間的拋物線上的動點(diǎn)（點(diǎn)Q可與A、D兩點(diǎn)重合），求當(dāng)d（∠xOD，Q）取最大值時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)若點(diǎn)P在∠MON的內(nèi)部或邊上，作PE⊥OM于點(diǎn)E，PF⊥ON于點(diǎn)F，則將PE+PF稱為點(diǎn)P與∠MON的“點(diǎn)角距”，記作d（∠MON，P），可得答案；
（2）根據(jù)點(diǎn)P為∠xOy內(nèi)部或邊上的動點(diǎn)，且滿足d（∠xOy，P）=5，可得函數(shù)，根據(jù)函數(shù)，可得函數(shù)圖象；
（3）根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得QE的長，根據(jù)d（∠xOD，Q），可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案．

解答 28．（1）已知點(diǎn)A（5，0）、點(diǎn)B（3，2），則d（∠xOy，A）=5，d（∠xOy，B）=5．
故答案為：5，5；                  
（2）過B點(diǎn)的直線為y=-x+5，如圖1，
；
（3）過點(diǎn)Q作QF⊥x軸于F，QE⊥OD于E，延長FQ交OD于M，如圖2，
，
可求直線OD表達(dá)式為：y=$\frac{4}{3}$x，
拋物線表達(dá)式為：y=-$\frac{1}{2}$x²+2x+$\frac{5}{2}$，
  設(shè)Q（x，-$\frac{1}{2}$x²+2x+$\frac{5}{2}$），則M（x，$\frac{4}{3}$x）
∴MQ=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{2}{3}$x-$\frac{5}{2}$．
在Rt△MOF中，利用勾股定理可求OM=$\sqrt{O{F}^{2}+F{M}^{2}}$=$\frac{5x}{3}$．
利用△MEQ∽△MFO，可得：$\frac{MQ}{MO}$=$\frac{QE}{OF}$
即：$\frac{\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{2}{3}x-\frac{5}{2}}{\frac{5x}{3}}$=$\frac{QE}{x}$
∴QE=$\frac{3}{10}$x²-$\frac{2}{5}$x-$\frac{3}{2}$，
∴QE+QF=（$\frac{3}{10}$x²-$\frac{2}{5}$x-$\frac{3}{2}$）+（-$\frac{1}{2}$x²+2x+$\frac{5}{2}$）
=-$\frac{1}{5}$x+$\frac{8}{5}$x+1
=-$\frac{1}{5}$（x-4）²+$\frac{21}{5}$  （3≤x≤5），
∴當(dāng)x=4時(shí)，QE+QF的值最大，最大值為$\frac{21}{5}$，此時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（4，$\frac{5}{2}$）．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用若點(diǎn)P在∠MON的內(nèi)部或邊上，作PE⊥OM于點(diǎn)E，PF⊥ON于點(diǎn)F，則將PE+PF稱為點(diǎn)P與∠MON的“點(diǎn)角距”，記作d（∠MON，P）是解題關(guān)鍵；利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出EQ的長是解題關(guān)鍵．