Question

9．如圖，在△ABC中，AB=AC=1，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC邊于D，
（1）求證：BC²=AC•CD；
（2）若AD=BC，求BD的長．

Answer 1

分析 （1）由AB=AC，∠BAC=36°，得∠ABC=∠C=72°，再由BD平分∠ABC，得∠ABD=∠CBD=36°，因此△ABC∽△BDC；
（2）設(shè)BD為x，證出AD=BC=AD=x，得出CD=AC-AD=1-x，由（1）得：BC²=AC•CD得出方程，解方程即可．

解答 （1）證明：∵AB=AC，∠BAC=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=36°，
∴△ABC∽△BDC，
∴BC：CD=AC：BC，
∴BC²=AC•CD；
（2）解：設(shè)BD為x，
∵∠ABD=∠CBD=36°=∠A，
∴AD=BD，
∵AD=BC，
∴AD=BC=AD=x，
∴CD=AC-AD=1-x，
由（1）得：BC²=AC•CD，
∴x²=1×（1-x），
解得：x=$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$（負(fù)值舍去），
∴BD=$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，證明三角形相似是解決問題的關(guān)鍵．