Question

2．設(shè)AD、BC是圓O的互相垂直的直徑，E和F分別在劣弧$\widehat{AB}$，$\widehat{CA}$上，若$\widehat{AE}$和$\widehat{AF}$相等，直線DA和直線BE的交點(diǎn)為G，直線FA和直線DB的交點(diǎn)為H，求證：∠HGA是直角．

Answer 1

分析 連接AC、AE、CF、DE，由AD、BC是圓O的互相垂直的直徑，得出AB=AC，AB⊥DE，∠CAD=∠BAD=∠BED=45°，$\widehat{AE}=\widehat{AF}$，$\widehat{AB}=\widehat{AC}$，得出$\widehat{BE}=\widehat{CF}$，由圓周角定理得出∠BAE=∠CAF=∠BDE，由角的關(guān)系得出∠HAG=∠HBG，證出H、G、A、B四點(diǎn)共圓，即可得出結(jié)論．

解答 證明：連接AC、AE、CF、DE，如圖所示：
∵AD、BC是圓O的互相垂直的直徑，
∴AB=AC，AB⊥DE，∠CAD=∠BAD=∠BED=45°，
∵$\widehat{AE}=\widehat{AF}$，$\widehat{AB}=\widehat{AC}$，$\widehat{BE}=\widehat{CF}$，
∴∠BAE=∠CAF=∠BDE，
∵∠HAG=∠DAF=∠CAD+∠CAF=45°+∠CAF，∠HBG=∠BED+∠BDE=45°+∠BDE，
∴∠HAG=∠HBG，
∴H、G、A、B四點(diǎn)共圓，
∴∠HGA=∠HBA=90°．

點(diǎn)評 本題考查了圓周角定理、四點(diǎn)共圓等知識；熟練掌握圓周角定理，證明四點(diǎn)共圓是解決問題的關(guān)鍵．