Question

13．拋物線y=$\frac{1}{4}$x²-2x+3經(jīng)過A（0，3），B（6，0），點P是拋物線上的一個動點，且位于A，C兩點之間，問：點P運動到什么位置時，△PAC的面積最大？并求出此時P的坐標(biāo)和△PAC的面積．

Answer 1

分析 過P作y軸的平行線，交AC于Q；易求得直線AB的解析式，可設(shè)出P點的坐標(biāo)，進而可表示出P、Q的縱坐標(biāo)，也就得出了PQ的長；然后根據(jù)三角形面積的計算方法，可得出關(guān)于△PAB的面積與P點橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)即可求出△PAB的最大面積及對應(yīng)的P點坐標(biāo)．

解答 解：如圖，過點P作平行于y軸的直線交AB于點Q；
∵A（0，3），B（6，0），
∴AB的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+3；
設(shè)P點的坐標(biāo)為（m，$\frac{1}{4}$m²-2m+3），
則Q點的坐標(biāo)為（m，-$\frac{1}{2}$m+3）；
∴PQ=-$\frac{1}{2}$m+3-（$\frac{1}{4}$m²-2m+3）=-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{3}{2}$m．
∵S_△PAB=S_△PAQ+S_△PCQ=$\frac{1}{2}$×（-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{3}{2}$m）×6
=-$\frac{3}{4}$（m-3）²+$\frac{27}{4}$；
∴當(dāng)m=3時，△PAB的面積最大為$\frac{27}{4}$；
此時，P點的坐標(biāo)為（3，-$\frac{3}{4}$）．

點評 此題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的最值、圖形面積的求法等知識．