Question

3．如圖△ABC中，tan∠C=$\frac{1}{2}$，DE⊥AC，若CE=5，DE=1，且△BEC的面積是△ADE面積的10倍，則BE的長度是$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 作輔助線，構(gòu)建三角形高線，根據(jù)已知的三角函數(shù)值tan∠C=$\frac{1}{2}$設(shè)未知數(shù)：設(shè)BF=x，則FC=2x，EF=5-2x，由平行線分線段成比例定理列比例式，表示出AE的長，根據(jù)已知的面積關(guān)系：△BEC的面積是△ADE面積的10倍，列方程解出即可．

解答 解：過B作BF⊥AC于F，
tan∠C=$\frac{BF}{FC}$=$\frac{1}{2}$，
設(shè)BF=x，則FC=2x，EF=5-2x，
∵DE⊥AC，
∴DE∥BF，
∴$\frac{DE}{BF}=\frac{AE}{AF}$，
∴$\frac{1}{x}=\frac{AE}{AE+5-2x}$，
∴AE=$\frac{5-2x}{x-1}$，
∵△BEC的面積是△ADE面積的10倍，
∴$\frac{1}{2}$×EC×BF=10×$\frac{1}{2}$×AE×DE，
5x=10×$\frac{5-2x}{x-1}$×1，
x²+3x-10=0，
（x+5）（x-2）=0，
x₁=-5（舍），x₂=2，
經(jīng)檢驗(yàn)x=2是原方程的解，
∴BF=2，EF=5-2x=1，
由勾股定理得：BE=$\sqrt{E{F}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
故答案為：$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了三角函數(shù)、平行線分線段成比例定理的性質(zhì)，利用三角函數(shù)值的倍數(shù)關(guān)系設(shè)未知數(shù)，與比例式或勾股定理相結(jié)合，列方程或方程組可以求線段的長，也可以從已知條件中找出等量關(guān)系列方程求解．