Question

4．如圖，已知第一象限內(nèi)的點A在反比例函數(shù)y=$\frac{2}{x}$的圖象上，第二象限的點B在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象上，且OA⊥OB，tanA=$\sqrt{2}$，則k的值為（　�。�

• A． -3
• B． -4
• C． -6
• D． -2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 作BC⊥x軸于C，AD⊥x軸于D，如圖，利用反比例函數(shù)系數(shù)的機會意義得到S_△AOD=1，再根據(jù)正切的意義得到tanA=$\frac{OB}{OA}$=$\sqrt{2}$，則OB=$\sqrt{2}$OA，接著證明Rt△AOD∽Rt△OBC，利用相似三角形的性質(zhì)得S_△OBC=2S_△AOD=2，所以$\frac{1}{2}$•|k|=2，然后根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)確定k的值．

解答 解：作BC⊥x軸于C，AD⊥x軸于D，如圖，則S_△AOD=$\frac{1}{2}$×2=1，
在Rt△AOB中，tanA=$\frac{OB}{OA}$=$\sqrt{2}$，
∴OB=2OA，
∵∠AOD+∠BOC=90°，∠AOD+∠OAD=90°，
∴∠BOC=∠OAD，
∴Rt△AOD∽Rt△OBC，
∴$\frac{{S}_{△AOD}}{{S}_{△OBC}}$=（$\frac{OA}{OB}$）²=2，
∴S_△OBC=2S_△AOD=2，
∴$\frac{1}{2}$•|k|=2，
而k＜0，
∴k=-4．
故選B．

點評 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征：反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（k為常數(shù)，k≠0）的圖象是雙曲線，圖象上的點（x，y）的橫縱坐標的積是定值k，即xy=k．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．