Question

9．如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，△ABO的邊AB垂直于x軸，垂足為點B，反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的圖象經(jīng)過AO上的點C，且$\frac{OC}{OA}=\frac{2}{3}$，與AB相交于點D，OB=6，AD=$\frac{5}{2}$，
（1）求點C的橫坐標；
（2）求反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的解析式；
（3）求經(jīng)過C、D兩點的一次函數(shù)解析式．

Answer 1

分析 （1）如圖，過點C作CE⊥x軸于點E，利用平行線截線段成比例求得點C的橫坐標；
（2）設(shè)點D的坐標為（6，m）（m＞0），則點A的坐標為（6，$\frac{5}{2}$+m），由點A的坐標表示出點C的坐標，根據(jù)C、D點在反比例函數(shù)圖象上結(jié)合反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征即可得出關(guān)于k、m的二元一次方程，解方程即可得出結(jié)論；
（3）由m的值，可找出點C、D的坐標，設(shè)出過點C、D的一次函數(shù)的解析式為y=ax+b，由點C、D的坐標利用待定系數(shù)法即可得出結(jié)論

解答 解：（1）如圖，過點C作CE⊥x軸于點E，
∵AB⊥x軸，
∴CE∥AB，
∴$\frac{OE}{OB}$=$\frac{OC}{OA}$．
又∵$\frac{OC}{OA}=\frac{2}{3}$，OB=6，
∴$\frac{OE}{6}$=$\frac{2}{3}$，則OE=4，
∴點C的橫坐標是4；

（2）設(shè)點D的坐標為（6，m）（m＞0），則點A的坐標為（6，$\frac{5}{2}$+m），
∵點C的坐標為（4，$\frac{5}{3}$+$\frac{2}{3}$m）
∵點C、點D均在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的函數(shù)圖象上，
∴6m=4×（$\frac{5}{3}$+$\frac{2}{3}$m），
解得：m=2．
故k=12
∴反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{12}{x}$．

（3）∵m=2，
∴點C的坐標為（4，3），點D的坐標為（6，2）．
設(shè)經(jīng)過點C、D的一次函數(shù)的解析式為y=ax+b，
則有$\left\{\begin{array}{l}{4a+b=3}\\{6a+b=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=5}\end{array}\right.$．
∴經(jīng)過C、D兩點的一次函數(shù)解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+5．

點評 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題、反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征、解直角三角形以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，解決該題型題目時，利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征找出方程組，通過解方程組得出點的坐標，再利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可．