Question

10．如圖，已知一次函數(shù)y=kx+3-2k（k≠0），A（-2，1），C（-2，-3），B（1，-3）．
（1）求證：點M（2，3）在直線y=kx+3-2k（k≠0）上；
（2）當直線y=kx+3-2k（k≠0）經(jīng)過點C時，點P是直線y=kx+3-2k（k≠0）上一點，若S_△CBP=2S_△ABC，求點P的坐標；
（3）當直線y=kx+3-2k（k≠0）與△ABC有公共點時，直接寫出k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將直線y=kx+3-2k變形為y-3=k（x-2），由此即可證出點M（2，3）在直線y=kx+3-2k（k≠0）上；
（2）根據(jù)點C的坐標利用待定系數(shù)法求出此時直線的解析式，由此可設點P的坐標為（m，$\frac{3}{2}$m），再根據(jù)S_△CBP=2S_△ABC，即可得出關(guān)于m的含絕對值符號的一元一次方程，解方程即可求出m值，將其代入點P坐標中即可得出結(jié)論；
（3）根據(jù)點A、點B的坐標，利用待定系數(shù)法分別求出直線過點A和點B時的k值，結(jié)合函數(shù)圖象即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）證明：∵y=kx+3-2k，
∴y-3=k（x-2），
∴當x=2時，y=3，
∴點M（2，3）在直線y=kx+3-2k（k≠0）上．
（2）將點C（-2，-3）代入y=kx+3-2k中，
得：-3=-2k+3-2k，解得：k=$\frac{3}{2}$，
此時直線CM的解析式為y=$\frac{3}{2}$x．
設點P的坐標為（m，$\frac{3}{2}$m）．
∵S_△CBP=$\frac{1}{2}$BC•|y_P-y_B|，S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•|y_A-y_C|，S_△CBP=2S_△ABC，
∴|$\frac{3}{2}$m-（-3）|=2×[1-（-3）]，
解得：m₁=-$\frac{22}{3}$，m₂=$\frac{10}{3}$，
∴點P的坐標為（-$\frac{22}{3}$，-11）或（$\frac{10}{3}$，5）．
（3）依據(jù)題意化成圖形，如圖所示．
將點A（-2，1）代入y=kx+3-2k中，
得：1=-2k+3-2k，解得：k=$\frac{1}{2}$；
將點B（1，-3）代入y=kx+3-2k中，
得：-3=k+3-2k，解得：k=6．
∴當直線y=kx+3-2k（k≠0）與△ABC有公共點時，k的取值范圍為$\frac{1}{2}$≤k≤6．

點評 本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征、三角形的面積以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是：（1）將直線解析式變形為y-3=k（x-2）；（2）根據(jù)面積間的關(guān)系找出關(guān)于m含絕對值符號的一元一次方程；（3）根據(jù)待定系數(shù)法求出k值．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)點的坐標利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是關(guān)鍵．