Question

9．如圖，在△ABC中，BC=2AB，BD為角平分線，∠ADB=45°，若AC=3$\sqrt{2}$，則線段BD的長為2．

Answer 1

分析 過B作BE⊥CA交CA的延長線于E，證明△AEB∽△BEC，問題即可得解．

解答 解：如圖，過B作BE⊥CA交CA的延長線于E，
∴∠E=90°，
∵∠ADB=45°，∴∠EBD=45°，
∴BE=DE，
∴∠C=45°-∠3，∠1=45°-∠2，
∵BD為角平分線，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠C，
∵∠E=∠E，
∴△AEB∽△BEC，
∴$\frac{AE}{BE}$=$\frac{BE}{CE}=\frac{AB}{BC}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{BE}{CE}=\frac{BE}{\frac{1}{2}BE+AC}=\frac{1}{2}$，
∴BE=$\sqrt{2}$，
∴BD=$\sqrt{{2BE}^{2}}$=2．
故答案為：2

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，正確的作出輔助線是解題的關鍵．