Question

14．如圖1，在△ABC中，CD為AB邊上的中線，點E、F分別在線段CD、AD上，且$\frac{DF}{DB}=\frac{DE}{DC}$．點G是EF的中點，射線DG交AC于點H．
（1）求證：△DFE∽△DAC；
（2）請你判斷點H是否為AC的中點？并說明理由；
（3）若將△ADH繞點D順時針旋轉至△A′DH′，使射線DH′與射線CB相交于點M（不與B，C重合．圖2是旋轉后的一種情形），請?zhí)骄俊螧MD與∠BDA′之間所滿足的數(shù)量關系，并加以證明．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角形的中線的概念和相似三角形的判定定理證明即可；
（2）證明△DGF∽△DHA，△DEG∽△DCH，根據(jù)相似三角形的性質得到比例式，根據(jù)線段中點的概念得到EG=FG，等量代換即可；
（3）分點M在線段BC上和點M在CB的延長線上兩種情況，根據(jù)相似三角形的性質和旋轉的性質解答即可．

解答 （1）證明：∵CD為AB邊上的中線，
∴DB=DA，
∵$\frac{DF}{DB}=\frac{DE}{DC}$，
∴$\frac{DF}{DA}=\frac{DE}{DC}$，又∠FDE=∠ADC，
∴△DFE∽△DAC；
（2）解：點H為AC的中點．
理由如下：∵△DFE∽△DAC，
∴∠DFE=∠DAC，
∴EF∥AC，
∴△DGF∽△DHA，△DEG∽△DCH，
∴$\frac{DG}{DH}=\frac{FG}{AH}$，$\frac{DG}{DH}=\frac{EG}{HC}$，
∴$\frac{EG}{HC}=\frac{FG}{AH}$，
∵點G是EF的中點，
∴EG=FG，
∴HC=AH，即點H為AC的中點；
（3）解：①如圖2，當點M在線段BC上時（不與B，C重合），
∠BMD+∠BDA'=180°，
∵BD=AD，HC=AH，
∴DH∥BC，
∴∠BMD=∠HDH′，
∵將△ADH繞點D旋轉至△A'DH'，
∴∠HDH′=∠ADA'．
∵∠BDA′+∠ADA'=180°，
∴∠BMD+∠BDA′=180°；
②如圖3，當點M在CB的延長線上時，∠BMD=∠BDA'，
∵BD=AD，HC=AH，
∴DH∥BC，
∴∠BMD=∠NDH，
∵將△ADH繞點D旋轉至△A'DH'，
∴∠HDH′=∠ADA'，
∵∠BDA′+∠ADA'=180°，
∠NDH+∠HDH′=180°，
∴∠NDH=∠BDA′，
∴∠BMD=∠BDA′．

點評 本題考查的是相似三角形的性質、旋轉變換的性質，掌握相似三角形的判定定理和性質定理、理解旋轉變換中，旋轉角相等、旋轉前后的圖形全等是解題的關鍵．