Question

19．如圖1，某同學(xué)家的一面窗戶上安裝有遮陽(yáng)篷，圖2和圖3是截面示意圖，CD是遮陽(yáng)篷，窗戶AB為1.5米，BC為0.5米．該遮陽(yáng)篷有伸縮功能．如圖2，該同學(xué)在夏季某日的正午時(shí)刻測(cè)得太陽(yáng)光和水平線的夾角為60°，遮陽(yáng)篷CD正好將進(jìn)入窗戶AB的陽(yáng)光擋��；如圖3，該同學(xué)在冬季某日的正午時(shí)刻測(cè)得太陽(yáng)光和水平線的夾角為30°，將遮陽(yáng)篷收縮成CD′時(shí)，遮陽(yáng)篷正好完全不擋進(jìn)入窗戶AB的陽(yáng)光．
（1）計(jì)算圖3中CD′的長(zhǎng)度比圖2中CD的長(zhǎng)度收縮了多少米；（結(jié)果保留根號(hào)）
（2）如果圖3中遮陽(yáng)篷的長(zhǎng)度為圖2中CD的長(zhǎng)度，請(qǐng)計(jì)算該遮陽(yáng)落在窗戶AB上的陰影長(zhǎng)度為多少米？（請(qǐng)?jiān)趫D3中畫(huà)圖并標(biāo)出相應(yīng)字母，然后再計(jì)算）

Answer 1

分析 （1）解直角△ACD，求出CD，再解直角△BCD′，求出CD′，然后計(jì)算CD-CD′即可；
（2）圖3中遮陽(yáng)篷的長(zhǎng)度為圖2中CD的長(zhǎng)度時(shí)，過(guò)D作DE∥BD′，交AB于E．解直角△ECD，求出CE，再計(jì)算CE-BC即可．

解答 解：（1）在直角△ACD中，∵AC=AB+BC=2米，∠CAD=30°，
∴tan∠CAD=$\frac{CD}{AC}$，
∴CD=AC•tan∠CAD=2×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（米）．
在直角△BCD′中，∵BC=0.5米，∠CBD′=60°，
∴tan∠CBD′=$\frac{CD′}{BC}$，
∴CD′=BC•tan∠CBD′=0.5×$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（米），
∴CD-CD′=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$（米）．
故圖3中CD′的長(zhǎng)度比圖2中CD的長(zhǎng)度收縮了$\frac{\sqrt{3}}{6}$米；

（2）如圖，圖3中遮陽(yáng)篷的長(zhǎng)度為圖2中CD的長(zhǎng)度時(shí)，過(guò)D作DE∥BD′，交AB于E．
在直角△ECD中，∵CD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$米，∠CED=60°，
∴tan∠CED=$\frac{CD}{CE}$，
∴CE=$\frac{CD}{tan∠CED}$=$\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}}{\sqrt{3}}$=$\frac{2}{3}$，
∴BE=CE-BC=$\frac{2}{3}$-0.5=$\frac{1}{6}$（米）．
故該遮陽(yáng)篷落在窗戶AB上的陰影長(zhǎng)度為$\frac{1}{6}$米．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題加以計(jì)算．在解直角三角形的題目中，應(yīng)先找到和所求線段相關(guān)的線段所在的直角三角形，然后確定利用什么形式的三角函數(shù)，最后解直角三角形即可求出結(jié)果．