Question

10．如圖，已知矩形ABCD，AD=4，CD=10，P是AB上一動(dòng)點(diǎn)，M、N、E分別是PD、PC、CD的中點(diǎn)．
（1）求證：四邊形PMEN是平行四邊形；
（2）請(qǐng)直接寫(xiě)出當(dāng)AP為何值時(shí)，四邊形PMEN是菱形．

Answer 1

分析 （1）由M、N、E分別是PD、PC、CD的中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)，可證得ME∥PC，EN∥PD，繼而證得四邊形PMEN是平行四邊形；
（2）由AP=BP=5，可證得△APD≌△BPC（SAS），繼而可得PD=PC，則可得PM=EM=EN=PN，繼而證得四邊形PMEN是菱形．

解答 （1）證明：∵M(jìn)，E分別為PD，CD的中點(diǎn)，
∴ME∥PC，
同理可證：ME∥PD，
∴四邊形PMEN為平行四邊形；

（2）解：當(dāng)PA=5時(shí)，四邊形PMEN為菱形．
理由：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，AD=BC，
∵AP=5，AB=CD=10，
∴AP=BP，
在△APD和△BPC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AP=BP}\\{∠A=∠B}\\{AD=BC}\end{array}\right.$，
∴△APD≌△BPC（SAS），
∴PD=PC，
∵M(jìn)、N、E分別是PD、PC、CD的中點(diǎn)，
∴EN=PM=$\frac{1}{2}$PD，PN=EM=$\frac{1}{2}$PC，
∴PM=EM=EN=PN，
∴四邊形PMEN是菱形．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了矩形的性質(zhì)、菱形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角形中位線的性質(zhì)．注意利用三角形中位線的性質(zhì)求解是關(guān)鍵．