Question

11．如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=45°，BC=10，過點(diǎn)A作AD∥BC，且點(diǎn)D在點(diǎn)A的右側(cè)．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AD方向以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)沿射線CB方向以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，在線段QC上取點(diǎn)E，使得QE=2，連結(jié)PE，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）若PE⊥BC，求BQ的長；
（2）請問是否存在t的值，使以A，B，E，P為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）作AM⊥BC于M，由已知條件得出AB=AC，由等腰三角形的性質(zhì)得出BM=CM，由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得出AM=$\frac{1}{2}$BC=5，證出△APN和△CEN是等腰直角三角形，得出PN=AP=t，CE=NE=5-t，由CE=CQ-QE=2t-2得出方程，解方程即可；
（2）由平行四邊形的判定得出AP=BE，得出方程，解方程即可．

解答 解：（1）作AM⊥BC于M，如圖所示：
∵∠BAC=90°，∠B=45°，
∴∠C=45°=∠B，
∴AB=AC，
∴BM=CM，
∴AM=$\frac{1}{2}$BC=5，
∵AD∥BC，
∴∠PAN=∠C=45°，
∵PE⊥BC，
∴PE=AM=5，PE⊥AD，
∴△APN和△CEN是等腰直角三角形，
∴PN=AP=t，CE=NE=5-t，
∵CE=CQ-QE=2t-2，
∴5-t=2t-2，
解得：t=$\frac{7}{3}$，sy5BQ=BC-CQ=10-2×$\frac{7}{3}$=$\frac{16}{3}$；
（2）存在，t=4；理由如下：
若以A，B，E，P為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，
則AP=BE，
∴t=10-2t+2，
解得：t=4，
∴存在t的值，使以A，B，E，P為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，t=4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形的判定、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)；根據(jù)題意得出t的方程是解決問題的突破口．