Question

11．在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°．點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)．將線段DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DF，連接EF，CF．過點(diǎn)F作FH⊥FC，交直線AB于點(diǎn)H．

（1）若點(diǎn)E在線段DC上，如圖1，
①依題意補(bǔ)全圖1；
②判斷FH與FC的數(shù)量關(guān)系并加以證明．
（2）若E為線段DC的延長線上一點(diǎn)，如圖2，且CE=$\sqrt{2}$，∠CFE=15°，請(qǐng)求出△FCH的面積∠CFE=12°，請(qǐng)寫出求△FCH的面積的思路．（可以不寫出計(jì)算結(jié)果）

Answer 1

分析 （1）①依題意補(bǔ)全圖1
②延長DF交AB于點(diǎn)G，根據(jù)三角形中位線的判定得出點(diǎn)G為AB的中點(diǎn)，根據(jù)中位線的性質(zhì)及已知條件AC=BC，得出DC=DG，從而EC=FG，易證∠1=∠2=90°-∠DFC，∠CEF=∠FGH=135°，由AAS證出△CEF≌△FGH．所以CF=FH．
（2）通過證明△CEF≌△FGH（ASA）得出FC=FH，再求出FC的長，即可解答．

解答 解：（1）①如圖1，

②FH與FC的數(shù)量關(guān)系是：FH=FC．
證明如下：如圖2，延長DF交AB于點(diǎn)G，

由題意，知∠EDF=∠ACB=90°，DE=DF，
∴DG∥CB，
∵點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，
∴點(diǎn)G為AB的中點(diǎn)，且DC=$\frac{1}{2}$AC，
∴DG為△ABC的中位線，
∴DG=$\frac{1}{2}$BC．
∵AC=BC，
∴DC=DG，
∴DC-DE=DG-DF，
即EC=FG．
∵∠EDF=90°，F(xiàn)H⊥FC，
∴∠1+∠CFD=90°，∠2+∠CFD=90°，
∴∠1=∠2．
∵△DEF與△ADG都是等腰直角三角形，
∴∠DEF=∠DGA=45°，
∴∠CEF=∠FGH=135°，
在△CEF和△FGH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{∠CEF=∠FGH}\\{FC=FH}\end{array}\right.$
∴△CEF≌△FGH，
∴CF=FH．
（2）如圖3，

∴∠DFE=∠DEF=45°，
∵AC=BC，
∴∠A=∠CBA=45°，
∵DF∥BC，
∴∠CBA=∠FGB=45°，
∴∠FGH=∠CEF=45°，
∵點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，DF∥BC，
∴DG=$\frac{1}{2}$BC，DC=$\frac{1}{2}$AC，
∴DG=DC，
∴EC=GF，
∵∠DFC=∠FCB，
∴∠GFH=∠FCE，
在△FCE和△HFG中
$\left\{\begin{array}{l}{∠CEF=∠FGH}\\{EC=GF}\\{∠ECF=∠GFH}\end{array}\right.$，
∴△FCE≌△HFG（ASA），
∴HF=FC，
∵∠EDF=90°，DE=DF，
∴∠DEF=∠DFE=45°，
∵∠CFE=15°，
∴∠DFC=45°-15°=30°，
∴CF=2CD，DF=$\sqrt{3}$CD，
∵DE=DF，CE=$\sqrt{2}$．
∴$\sqrt{2}$+CD=$\sqrt{3}$CD，
∴CD=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$，
∴CF=2CD=$\sqrt{6}+\sqrt{2}$．
∵∠CFH=90°，
∴△FCH的面積為：CF•CH•$\frac{1}{2}$=$（\sqrt{6}+\sqrt{2}）×（\sqrt{6}+\sqrt{2}）×\frac{1}{2}$=4+2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形中位線定理等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，解決本題的關(guān)鍵是證明FC=FH．