Question

已知：如圖①，在邊長為1的正方形ABCD中，對角線AC、BD相交于點M，直線EF經(jīng)過點A，且與BD平行，點O是AC上一動點 以O(shè)為圓心，OA為半徑畫圓．

（1）直線EF與⊙O相切嗎？請說明理由；
（2）如圖②，當(dāng)⊙O與BC相切于點N時 求⊙O的半徑．

Answer 1

考點：切線的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）由正方形的性質(zhì)可以得出∠MBA=∠MAB=45°，由BD∥EF就可以得出∠DBA=∠BAF=45°，就可以得出∠MAF=90°，進(jìn)而得出結(jié)論；
（2）連結(jié)ON，就可以得出ON⊥BC，得出∠CNO=90°，由正方形的性質(zhì)就可以得出∠ABC=90°，進(jìn)而得出ON∥AB，就有△CON∽△CAB，就有

ON

AB

=

CO

AC

，設(shè)⊙O的半徑為x，就有ON=AO=x，由勾股定理就可以得出AC=

2

，進(jìn)而代入比例式就可以求出結(jié)論．

解答：解：（1）EF與⊙O相切．
理由：如圖1，∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠MBA=∠MAB=45°．
∵BD∥EF，
∴∠DBA=∠BAF，
∴∠BAF=45°，
∴∠CAF=90°，
∴CA⊥EF，
∴直線EF與⊙O相切；
（2）如圖2，連結(jié)ON．
∵⊙O與BC相切于點N，
∴ON⊥BC，
∴∠CNO=90°．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，
∴∠CNO=∠ABC，
∴ON∥AB，
∴△CON∽△CAB，
∴

ON

AB

=

CO

AC

．
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AC=

2

．
設(shè)⊙O的半徑為x，則有ON=AO=x，OC=

2

-x，
∴

x

1

=

2 -x

2

，
解得：x=2-

2

．
答：⊙O的半徑為2-

2

．

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)的運用，平行線的性質(zhì)的運用，圓的切線的判定及性質(zhì)的運用，勾股定理的運用，相似三角形的判定及性質(zhì)的運用，解答時運用切線的性質(zhì)求解是關(guān)鍵．