Question

如圖，△ACB、△AED都為等腰直角三角形，∠AED=∠ACB=90°，點D在AB上，連CE，M、N分別為BD、CE的中點．
（1）求證：MN=

1

2

CE；
（2）如圖，將△ADE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)一個銳角后，（1）中結(jié)論是否仍成立？若成立，請證明；
（3）求證：MN⊥CE．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：（1）延長DN交AC于F，連BF，根據(jù)DE∥AC，可證△EDN≌△CFN，可得DE=CF，求出DN=FN，F(xiàn)C=ED，得出MN是中位線，再證△CAE≌△BCF，得出BF=CE，即可解題；推出∠ACE=∠CBF，求出∠CBF+∠BCE=90°，即可得出答案；
（2）延長DN到G，使DN=GN，連接CG，延長DE、CA交于點K，求出BG=2MN，證△CAE≌△BCG，推出BG=CE，即可解題；
（3）根據(jù)△CAE≌△BCF，可得∠ACE=∠CBF，求得∠CBF+∠BCE=90°，即可解題．

解答：（1）證明：延長DN交AC于F，連BF，

∵△ACB和△AED是等腰直角三角形，∠AED=∠ACB=90°，DE=AE，AC=BC，
∴∠EAD=∠EDA=∠BAC=45°，
∴DE∥AC，
∴∠DEN=∠FCN，
在△DEN和△FCN中，

∠DNE=∠FNC EN=NC ∠DEN=∠FCN

，
∴△DEN≌△FCN（ASA），
∴DE=FC，DN=NF，
∴AE=FC，
∵M是BD中點，
∴MN是△BDF的中位線，
∴MN=

1

2

BF，
∵∠EAD=∠BAC=45°，
∴∠EAC=∠ACB=90°，
在△CAE和△BCF中，

AC=BC ∠EAC=∠FCB=90° AE=FC

，
∴△CAE≌△BCF（SAS），
∴BF=CE，
∴MN=

1

2

CE；
（2）證明：延長DN到G，使DN=GN，連接CG，延長DE、CA交于點K，

∵M為BD中點，
∴MN是△BDG的中位線，
∴BG=2MN，
在△EDN和△CGN中，

DN=NG ∠DNE=∠GNC EN=NC

，
∴△EDN≌△CGN（SAS），
∴DE=CG=AE，∠GCN=∠DEN，
∴DE∥CG，
∴∠KCG=∠CKE，
∵∠CAE=45°+∠DAB+45°=90°+∠DAB，
∴∠EAK=90°-∠DAB，
∴∠CKE=∠KCG=∠DAB，
∴∠BCG=90°+∠DAB，
在△CAE和△BCG中，

AC=BC ∠CAE=∠BCG AE=CG

，
∴△CAE≌△BCG（SAS），
∴BG=CE，
∵BG=2MN，
∴CE=2MN．
（3）∵△CAE≌△BCF，
∴∠ACE=∠CBF，
∵∠ACE+∠BCE=90°，
∴∠CBF+∠BCE=90°，
即BF⊥CE，
∵MN∥BF，
∴MN⊥CE．

點評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應邊相等的性質(zhì)，本題中求證△EDN≌△CFN和△CAE≌△BCF是解題的關(guān)鍵．