Question

如圖，O是△ABC的三內(nèi)角平分線的交點，OE⊥BC．
（1）若∠BAC=60°，∠ACB=80°，則∠BOD=

 

，∠EOC=

 

；
（2）試猜想∠BOD與∠EOC之間的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點：三角形內(nèi)角和定理

專題：

分析：（1）根據(jù)角平分線求出∠BAO和∠ABO，根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出∠BOD即可，求出∠OCB，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠EOC即可；
（2）根據(jù)角平分線求出∠ABO=

1

2

∠ABC，∠BAO=

1

2

∠BAC，∠OCB=

1

2

∠ACB，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和三角形外角性質(zhì)求出即可．

解答：解：（1）∵∠BAC=60°，∠ACB=80°，O是△ABC的三內(nèi)角平分線的交點，
∴∠BAD=

1

2

∠BAC=30°，∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB=40°，
∴∠ABO=

1

2

∠ABC=20°，
∴∠BDO=∠BAO+∠ABO=30°+20°=50°，
∵∠ACB=80°，CO平分∠ACB，
∴∠OCB=

1

2

∠ACB=40°，
∵OE⊥BC，
∴∠OEC=90°，
∴∠EOC=90°-40°=50°，
故答案為：50°，50°．

（2）∠BOD=∠EOC，
∵O是△ABC的三內(nèi)角平分線的交點，
∴∠ABO=

1

2

∠ABC，∠BAO=

1

2

∠BAC，∠OCB=

1

2

∠ACB，
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠BAC+∠ABC=180°-∠ACB，
∴∠BOD=∠BAO+∠ABO=

1

2

（∠BAC+∠ABC）=

1

2

（180°-∠ACB）=90°-

1

2

∠ACB，
∵∠OEC=90°，∠OCB=

1

2

∠ACB，
∴∠EOC=90°-

1

2

∠ACB，
即∠BOD=∠EOC．

點評：本題主要考查三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理的推論，三角形外角性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力和計算能力．