Question

1．由6根鋼管首尾順次鉸接而成六邊形鋼架ABCDEF，相鄰兩鋼管可以轉(zhuǎn)動(dòng)．已知各鋼管的長(zhǎng)度為AB=DE=1米，BC=CD=EF=FA=2米．（鉸接點(diǎn)長(zhǎng)度忽略不計(jì)）
（1）轉(zhuǎn)動(dòng)鋼管得到三角形鋼架，如圖1，則點(diǎn)A，E之間的距離是$\frac{8}{3}$米．
（2）轉(zhuǎn)動(dòng)鋼管得到如圖2所示的六邊形鋼架，有∠A=∠B=∠C=∠D=120°，現(xiàn)用三根鋼條連接頂點(diǎn)使該鋼架不能活動(dòng)，則所用三根鋼條總長(zhǎng)度的最小值是3$\sqrt{7}$米．

Answer 1

分析 （1）只要證明AE∥BD，得$\frac{AE}{DB}$=$\frac{AF}{FB}$，列出方程即可解決問(wèn)題．
（2）分別求出六邊形的對(duì)角線并且比較大小，即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）如圖1中，∵FB=DF，F(xiàn)A=FE，
∴∠FAE=∠FEA，∠B=∠D，
∴∠FAE=∠B，
∴AE∥BD，
∴$\frac{AE}{DB}$=$\frac{AF}{FB}$，
∴$\frac{AE}{4}$=$\frac{2}{3}$，
∴AE=$\frac{8}{3}$，
故答案為$\frac{8}{3}$．
（2）如圖中，作BN⊥FA于N，延長(zhǎng)AB、DC交于點(diǎn)M，連接BD、AD、BF、CF．
在RT△BFN中，∵∠BNF=90°，BN=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，F(xiàn)N=AN+AF=$\frac{1}{2}$+2=$\frac{5}{2}$，
∴BF=$\sqrt{B{N}^{2}+N{F}^{2}}$=$\sqrt{7}$，同理得到AC=DF=$\sqrt{7}$，
∵∠ABC=∠BCD=120°，
∴∠MBC=∠MCB=60°，
∴∠M=60°，
∴CM=BC=BM，
∵∠M+∠MAF=180°，
∴AF∥DM，∵AF=CM，
∴四邊形AMCF是平行四邊形，
∴CF=AM=3，
∵∠BCM=∠CBD+∠CDB=60°，∠CBD=∠CDB，
∴∠CBD=∠CDB=30°，∵∠M=60°，
∴∠MBD=90°，
∴BD=$\sqrt{D{M}^{2}-B{M}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，同理AE=2$\sqrt{3}$，
∵$\sqrt{7}$＜3＜2$\sqrt{3}$，
∴用三根鋼條連接頂點(diǎn)使該鋼架不能活動(dòng)，
∴連接AC、BF、DF即可，
∴所用三根鋼條總長(zhǎng)度的最小值3$\sqrt{7}$，
故答案為3$\sqrt{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形的穩(wěn)定性、平行線的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、勾股定理．等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造特殊三角形以及平行四邊形，屬于中考常考題型．