Question

17．（1）太原雙塔寺，為國家級(jí)文物保護(hù)單位，由于雙塔聳立．被人們稱為“文筆雙塔”，成為太原的標(biāo)志．小明學(xué)習(xí)了“利用三角函數(shù)測量不可達(dá)物體高度”的知識(shí)后．利用圖1求塔DE的高．具體做法：在地面A、B兩處測得塔DE的仰角分別為α、β，且測得AB=a米．設(shè)DE=h米，由AE-BE=a可得關(guān)于h的方程$\frac{h}{tanα}$-$\frac{h}{tanβ}$=a，解得h=$\frac{a•tanα•tanβ}{tanβ-tanα}$
（2）請(qǐng)你用上述基本模型解決下列問題：如圖2，斜坡AE的坡度為1：$\sqrt{3}$，在A處測得塔尖D的仰角為60°，沿著斜坡向上走10米到達(dá)B，在B處側(cè)得塔尖D的仰角為75°，求塔DE的高．（結(jié)果保留根號(hào)）

Answer 1

分析 （1）在Rt△ADE中求出AE，在Rt△BDE中求出BE，然后根據(jù)AE-BE=AB得出方程，解出即可．
（2）過點(diǎn)B作BG⊥CE于點(diǎn)G，過點(diǎn)D作DH⊥AE，根據(jù)圖形中的三角函數(shù)關(guān)系可表示出DH，繼而Rt△DEH中可表示出DE．

解答 解：（1）∵在Rt△ABE中，AE=$\frac{DE}{tan∠DAE}$=$\frac{h}{tanα}$，
在Rt△BDE中，BE=$\frac{DE}{tan∠DBE}$=$\frac{h}{tanβ}$，
∴由AE-BE=a可得方程：$\frac{h}{tanα}$-$\frac{h}{tanβ}$=a，
解得：h=$\frac{a•tanα•tanβ}{tanβ-tanα}$，
故答案為：$\frac{h}{tanα}$-$\frac{h}{tanβ}$=a，$\frac{a•tanα•tanβ}{tanβ-tanα}$；

（2）如圖，過點(diǎn)B作BG⊥CE于點(diǎn)G，過點(diǎn)D作DH⊥AE，交AE延長線于點(diǎn)H，

∵tan∠BAC=i=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠BAC=30°，
∵∠DAC=60°，
∴∠DAH=∠EAC=30°，
∵∠BGE=∠C=90°，
∴BG∥AC，
∴∠EAC=∠EBG=30°，
∵∠DBG=75°，
∴∠DBH=45°，
由（1）中結(jié)論可得：DH=$\frac{AB•tan∠DAH•tan∠DBH}{tan∠DBH-tan∠DAH}$=$\frac{10×\frac{\sqrt{3}}{3}×1}{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}$=5$\sqrt{3}$+5，
∵∠BEG=∠DEH、且∠BGE=∠DHE=90°，
∴∠EDH=∠EBG=30°，
∴DE=$\frac{DH}{cos∠EDH}$=$\frac{5\sqrt{3}+5}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=10+$\frac{10}{3}$$\sqrt{3}$，
故塔高為10+$\frac{10}{3}$$\sqrt{3}$米．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角及坡度坡比的問題，熟練掌握三角函數(shù)的定義，并添加合適輔助線構(gòu)建基本模型是解題的關(guān)鍵．