Question

7．如圖，在△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分線交AB于D，交AC于E，AO平分∠BAC交DE于O．
（1）若AC=27，△BCD周長等于50，求BC的長；
（2）若∠BAC=40°，在BC上存在一點P（P不與B、C重合），使得△BOP是等腰三角形，求∠BPO的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）利用線段垂直平分線得的性質(zhì)得DA=DC，再利用等線段代換和三角形周長定理得到BC+AC=50，所以BC=50-AC=23；
（2）連接OC，如圖，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得AO垂直平分BC，根據(jù)三角形內(nèi)角和可就是出∠ABC=∠ACB=70°，再證明OA=OC得到∠1=∠2=20°，則∠OBC=∠OCB=50°，然后討論：當BO=BP時，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和得到∠BPO=65°；當PO=PB時，同樣方法得到∠BPO=80°．

解答 解：（1）∵AC的垂直平分線交AB于D，
∴DA=DC，
∵△BCD周長等于50，
即BC+BD+CD=50，
∴BC+BD+AD=50，
即BC+AC=50，
∴BC=50-27=23；
（2）連接OC，如圖，
∵AB=AC，AO平分∠BAC，
∴AO垂直平分BC，∠1=20°，∠ABC=∠ACB=$\frac{1}{2}$（180°-∠BAC）=70°，
∴OB=OC，
∵OE垂直平分AC，
∴OA=OC，
∴∠1=∠2=20°，
∴∠BCO=70°-20°=50°，
∴∠OBC=∠OCB=50°，
當BO=BP時，∠BPO=$\frac{1}{2}$（180°-50°）=65°；
當PO=PB時，∠BPO=180°-2×50°=80°，
綜上所述，∠BPO的度數(shù)為65°或80°．

點評 本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)：垂直平分線垂直且平分其所在線段；垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等；三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，該點叫外心，并且這一點到三個頂點的距離相等．