Question

10．（1）如圖1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以點B為中心，把△ABC逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△A₁BC₁；再以點C為中心，把△ABC順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△A₂B₁C，連接C₁B₁，則C₁B₁與BC的位置關(guān)系為平行；
（2）如圖2，當△ABC是銳角三角形，∠ABC=α（α≠60°）時，將△ABC按照（1）中的方式旋轉(zhuǎn)α，連接C₁B₁，探究C₁B₁與BC的位置關(guān)系，寫出你的探究結(jié)論，并加以證明；
（3）如圖3，在圖2的基礎(chǔ)上，連接B₁B，若C₁B₁=$\frac{2}{3}$BC，△C₁BB₁的面積為4，則△B₁BC的面積為6．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠C₁BC=∠B₁BC=90°，BC₁=BC=CB₁，根據(jù)平行線的判定得到BC₁∥CB₁，推出四邊形BCB₁C₁是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）過C₁作C₁E∥B₁C于E，于是得到∠C₁EB=∠B₁CB，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到BC₁=BC=B₁C，∠C₁BC=∠B₁CB，等量代換得到∠C₁BC=∠C₁EB，根據(jù)等腰三角形的判定得到C₁B=C₁E，等量代換得到C₁E=B₁C，推出四邊形C₁ECB₁是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（3）設(shè)C₁B₁與BC之間的距離為h，由已知條件得到$\frac{{C}_{1}{B}_{1}}{BC}$=$\frac{2}{3}$，根據(jù)三角形的面積公式得到$\frac{{S}_{△{C}_{1}B{B}_{1}}}{{S}_{△{B}_{1}BC}}$=$\frac{2}{3}$，于是得到結(jié)論．

解答 解：（1）平行，
∵把△ABC逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△A₁BC₁；再以點C為中心，把△ABC順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△A₂B₁C，
∴∠C₁BC=∠B₁CB=90°，BC₁=BC=CB₁，
∴BC₁∥CB₁，
∴四邊形BCB₁C₁是平行四邊形，
∴C₁B₁∥BC，
故答案為：平行；

（2）證明：如圖②，過C₁作C₁E∥B₁C，交BC于E，則∠C₁EB=∠B₁CB，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，BC₁=BC=B₁C，∠C₁BC=∠B₁CB，
∴∠C₁BC=∠C₁EB，
∴C₁B=C₁E，
∴C₁E=B₁C，
∴四邊形C₁ECB₁是平行四邊形，
∴C₁B₁∥BC；

（3）由（2）知C₁B₁∥BC，
設(shè)C₁B₁與BC之間的距離為h，
∵C₁B₁=$\frac{2}{3}$BC，
∴$\frac{{C}_{1}{B}_{1}}{BC}$=$\frac{2}{3}$，
∵S${\;}_{△{C}_{1}B{B}_{1}}$=$\frac{1}{2}$B₁C₁•h，S${\;}_{△{B}_{1}BC}$=$\frac{1}{2}$BC•h，
∴$\frac{{S}_{△{C}_{1}B{B}_{1}}}{{S}_{△{B}_{1}BC}}$=$\frac{\frac{1}{2}{B}_{1}{C}_{1}•h}{\frac{1}{2}BC•h}$=$\frac{{B}_{1}{C}_{1}}{BC}$=$\frac{2}{3}$，
∵△C₁BB₁的面積為4，
∴△B₁BC的面積為6，
故答案為：6．

點評 本題考查了幾何變換，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，過C₁作C₁E∥B₁C是解題的關(guān)鍵．