Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AM為△ABC 的角平分線，將線段BM繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)使點M剛好落在AM的延長線上的點N處，此時作ND⊥BC于點D．
（1）求證：∠ABN=90°；
（2）求證：CM=BD；
（3）若BD=

3

2

DM，AB=10，求線段BN的長．

Answer 1

考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得對應(yīng)線段相等，根據(jù)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得∠BMN與∠BNM的關(guān)系，根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得答案；
（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得ME=CM，根據(jù)AAS，可得三角形全等，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得答案；
（3）根據(jù)勾股定理，可得DN的長，根據(jù)等角的銳角三角函數(shù)相等，可得答案．

解答：（1）證明：∵線段BM繞點B旋轉(zhuǎn)后得線段BN
∴BM=BN
∴∠BMN=∠BNM，
∵AM平分∠BAC
∴∠CAM=∠BAM
∠AMC=∠BMN=∠BNM
∴△ACM∽△ABN
∴∠ABN=∠C=90°；
（2）證明：作ME⊥AB于E，
∵AM平分∠BAC，∠C=90°，ME⊥AB
∴ME=CM，
∵ND⊥BC于D
∴∠MEB=∠NDB=∠ABN=90°
∴∠MBE+∠MBN=∠MBN+∠BND=90°
∴∠MBE=∠BND
∵∠MEB=∠NDB，∠MBE=∠BND，BM=BN
∴△MEB≌△BDN（AAS），
∴ME=BD
∴CM=BD；
（3）解：設(shè)DM=2x，則CM=BD=3x，BN=BM=BD+DM=5x
在Rt△BDN中，DN=

BN2-BD2

=4x
在Rt△MDN中，tan∠MND=

DM

DN

=

2x

4x

=

1

2

，
∵∠C=∠NDM=90°
∴AC∥DN
∴∠BAM=∠CAM=∠MND，
∴tan∠BAM=tan∠MND=

1

2

在Rt△ABN中，BN=AB•tan∠BAM=10×

1

2

=5．

點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，利用了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，補角的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等角的銳角三角函數(shù)相等．