Question

如圖，拋物線y=ax²-3ax+b與x軸交于A和B（4，0），與y軸交于C點，并且OB=OC，點P為拋物線上一點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）是否存在點P，使得△ACP是以AC為直角邊的直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點P 的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；
（3）若P為拋物線上位于第二象限上的一點，PH⊥x軸于H，交AC于Q點，當(dāng)線段PQ最長時，求PQ：QH．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）根據(jù)OB=OC寫出點C的坐標(biāo)，然后代入拋物線求出a、b的值，即可得解；
（2）求出線段AC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°后的對應(yīng)點C′、繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°后的對應(yīng)點A′的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出直線AC′、CA′的解析式，再分別與拋物線解析式聯(lián)立求解即可；
（3）求出直線AC的解析式，然后表示出PQ，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題求出PQ的最大值，然后求出QH，再相比計算即可得解．

解答：解：（1）∵OB=OC，B（4，0），
∴點C的坐標(biāo)為（0，4），
將點B（4，0），C（0，4）代入拋物線y=ax²-3ax+b得，

16a-12a+b=0 b=4

，
解得

a=-1 b=4

，
∴拋物線解析式為y=-x²+3x+4；

（2）令y=0，則-x²+3x+4=0，
解得x₁=-1，x₂=4，
所以，點A的坐標(biāo)為（-1，0），
如圖，①線段AC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°后的對應(yīng)點C′（3，-1），
設(shè)直線AC′的解析式為y=kx+b，
則

-k+b=0 3k+b=-1

，
解得

k=- 1 4 b=- 1 4

，
所以，直線AC′的解析式為y=-

1

4

x-

1

4

，
聯(lián)立

y=-x2+3x+4 y=- 1 4 x- 1 4

，
解得

x1=-1 y1=0

，

x2= 17 4 y2=- 21 16

，
所以，點P的坐標(biāo)為（

17

4

，-

21

16

），
②線段AC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°后的對應(yīng)點A′的坐標(biāo)為（4，3），
設(shè)直線CA′的解析式為y=mx+n，
則

n=4 4m+n=3

，
解得

m=- 1 4 n=4

，
所以，直線CA′的解析式為y=-

1

4

x+4，
聯(lián)立

y=- 1 4 x+4 y=-x2+3x+4

，
解得

x1=0 y1=4

，

x2= 13 4 y2= 51 16

，
所以，點P的坐標(biāo)為（

13

4

，

51

16

），
綜上所述，點P（

17

4

，-

21

16

）或（

13

4

，

51

16

）時，△ACP是以AC為直角邊的直角三角形；

（3）設(shè)直線AC的解析式為y=ex+f，
將A（-1，0），C（0，4）代入得，

-e+f=0 f=4

，
解得

e=4 f=4

，
所以，直線AC的解析式為y=4x+4，
∵PH⊥x軸于H，
∴PQ=（-x²+3x+4）-（4x+4）=-x²-x=-（x+

1

2

）²+

1

4

，
∴當(dāng)x=-

1

2

時，PQ有最大值

1

4

，
此時，QH=4×（-

1

2

）+4=-2+4=2，
∴PQ：QH=

1

4

：2=1：8．

點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的最值問題，難點在于（2）求出另一直角邊所在的直線的解析式，（3）列式得到PQ的長度表達式．