Question

如圖，已知A（3，0）、B（0，4），以A為頂點的拋物線與y軸交于點B．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)M（m，n）是拋物線上的一點（m、n為正整數(shù)），且它位于對稱軸的右側(cè)．若以M、B、O、A為頂點的四邊形四條邊的長度是四個連續(xù)的正整數(shù)，求點M的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）已知了拋物線的頂點坐標(biāo)，可將拋物線的解析式設(shè)為頂點式，然后將B點坐標(biāo)代入求解即可；
（2）由于M在拋物線的圖象上，根據(jù)（1）所得拋物線的解析式即可得到關(guān)于m、n的關(guān)系式：n=

4

9

（m-3）²，由于m、n同為正整數(shù)，因此m-3應(yīng)該是3的倍數(shù)，即m應(yīng)該取3的倍數(shù)，可據(jù)此求出m、n的值，再根據(jù)“以M、B、O、A為頂點的四邊形四條邊的長度是四個連續(xù)的正整數(shù)”將不合題意的解舍去，即可得到M點的坐標(biāo)；

解答：解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-3）²，
把點B（0，4），代入得9a=4，解得a=

4

9

，
所以拋物線的解析式為y=

4

9

（x-3）²，
（2）∵m、n為正整數(shù)，n=

4

9

（x-3）²，
∴（x-3）²應(yīng)是9的倍數(shù)，
∴m是3的倍數(shù)，
又∵m＞3，
∴m=6，9，12，
當(dāng)m=6時、n=4，
此時MA=5，MB=6，
∴當(dāng)M≥9時，MB＞6，
∴四邊形OAMB四條邊的長度不是四個連續(xù)的正整數(shù)，
∴點M的坐標(biāo)只有一種可能（6，4）．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定以及二次函數(shù)最值的應(yīng)用，同時還考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，難度較大．