Question

7．如圖，在△ABC中，AB邊垂直平分線交BC于點(diǎn)D，AC邊垂直平分線交BC于點(diǎn)E，連接AD，AE．
（1）若∠BAC=110°，求∠DAE的度數(shù)；
（2）若∠BAC=θ（0°＜θ＜180°），求∠DAE的度數(shù)（用含θ的式子表示）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到DB=DA，EC=EA，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)解答即可；
（2）分兩種情況進(jìn)行討論，先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，得到∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，進(jìn)而得到∠BAD+∠CAE=∠B+∠C=180°-α，再根據(jù)角的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可．

解答 解：（1）∵AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)D，AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)E，
∴DB=DA，EC=EA，
∵∠BAC=110°，
∴∠B+∠C=70°，
∵DB=DA，EC=EA，
∴∠DAB=∠B，∠EAC=∠C，
∴∠DAB+∠EAC=70°，
∴∠DAE=110°-70°=40°，
（2）分兩種情況：
①如圖所示，當(dāng)∠BAC≥90°時(shí)，

∵DM垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴∠B=∠BAD，
同理可得，∠C=∠CAE，
∴∠BAD+∠CAE=∠B+∠C=180°-θ，
∴∠DAE=∠BAC-（∠BAD+∠CAE）=θ-（180°-θ）=2θ-180°；
②如圖所示，當(dāng)∠BAC＜90°時(shí)，

∵DM垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴∠B=∠BAD，
同理可得，∠C=∠CAE，
∴∠BAD+∠CAE=∠B+∠C=180°-θ，
∴∠DAE=∠BAD+∠CAE-∠BAC=180°-θ-θ=180°-2θ．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形內(nèi)角和定理，線段垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用，注意：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．