Question

如圖，已知點(diǎn)D是⊙O外的一點(diǎn)，DA為⊙O的切線(xiàn)，A為切點(diǎn)，AB為⊙O的直徑，BD交⊙O于點(diǎn)C，若DA=4，DC=2，求圖中陰影部分面積．

Answer 1

考點(diǎn)：切線(xiàn)的性質(zhì),扇形面積的計(jì)算

專(zhuān)題：

分析：根據(jù)圓周角定理求得AC⊥BD，進(jìn)而求得cos∠D=

CD

AD

=

2

4

=

1

2

，從而求得∠D=60°，AC=2

3

，根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)求得AB⊥CD，進(jìn)而求得∠B=30°，進(jìn)一步求得∠COA=60°，得出△OAC是等邊三角形，通過(guò)解直角三角形求得AB=

AC

sin30°

=4

3

，即可求得OC=OA=AC=2

3

，從而能夠求得S_△AOC和S_△ACD，然后根據(jù)S_陰影=S_△AOC+S_△ACD-S_扇形即可求得．

解答：解：∵AB是直徑，
∴AC⊥BD，
在RT△ADC中，cos∠D=

CD

AD

=

2

4

=

1

2

，
∴∠D=60°，AC=2

3

，
∵AD切⊙O于A，AB是直徑，
∴AB⊥CD，
∴∠B=30°，
∴∠COA=60°，
∵OA=OC，
∴△OAC是等邊三角形，
∴AB=

AC

sin30°

=4

3

，
∴OC=OA=AC=2

3

，
∴S_陰影=S_△AOC+S_△ACD-S_扇形=

1

2

×2

3

×

3

2

×2

3

+

1

2

×2×2

3

-

60π×(2 3 )2

360

=5

3

-2π．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理，切線(xiàn)的性質(zhì)，扇形面積的計(jì)算以及等邊三角形的判定等，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．