Question

設(shè)拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，在拋物線上取點(diǎn)C，使∠ACB=90°，那么b²-4ac的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn)

專(zhuān)題：

分析：設(shè)A、B點(diǎn)坐標(biāo)分別為x₁、x₂，求出用x₁、x₂表示的AB長(zhǎng)度的表達(dá)式；求出拋物線頂點(diǎn)縱坐標(biāo)表達(dá)式，根據(jù)頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值大于或等于

1

2

AB的關(guān)系得到關(guān)系式；將b²-4ac看做一個(gè)整體，解不等式即可得到正確答案．

解答：解：設(shè)A、B點(diǎn)坐標(biāo)分別為x₁、x₂，
則AB=|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

(- b a )2-4× c a

=

b2-4ac

|a|

；
拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），
∵∠ACB=90°，
∴以AB為直徑作圓與拋物線的交點(diǎn)即為C點(diǎn)，
∴|

4ac-b2

4a

|≥

1

2

×

b2-4ac

|a|

，
兩邊平方得，

(b2-4ac)2

16a2

≥

b-4ac

4a2

，
去分母得，（b²-4ac）²≥4（b²-4ac），
∵拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，
∴b²-4ac＞0，
∴b²-4ac≥4．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)與兩點(diǎn)間的距離的關(guān)系、拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)及拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，根據(jù)已知得出頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值大于或等于

1

2

AB的關(guān)系是本題的關(guān)鍵．