Question

12．如圖，⊙O與Rt△ACB的兩直角邊AC、BC相切，切點分別為D、E兩點，且圓心O在斜邊AB上．
（1）試判斷以O(shè)、D、C、E為頂點的四邊形是什么特殊的四邊形，并說明理由．
（2）若AC=6，BC=8，求⊙O的半徑長．

Answer 1

分析 （1）首先連接OD，OE，由⊙O與Rt△ACB的兩直角邊AC、BC相切，可得以O(shè)、D、C、E為頂點的四邊形是矩形，又由OD=OE，即可得四邊形ODCE是正方形；
（2）首先設(shè)OD=x，由四邊形ODCE是正方形，可證得△AOD∽△ABC，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，求得答案．

解答 解：（1）以O(shè)、D、C、E為頂點的四邊形是正方形．
理由：連接OD，OE，
∵⊙O與Rt△ACB的兩直角邊AC、BC相切，
∴OD⊥AC，OE⊥BC，
∴∠ODC=∠OEC=90°，
∵∠C=90°，
∴四邊形ODCE是矩形，
∵OD=OE，
∴四邊形ODCE是正方形；

（2）設(shè)OD=x，
∵四邊形ODCE是正方形，
∴CD=OD=x，OD∥BC，
則AD=AC-CD=6-x，
∴△AOD∽△ABC，
∴$\frac{OD}{BC}$=$\frac{AD}{AC}$，
即$\frac{x}{8}=\frac{6-x}{6}$，
解得：x=$\frac{24}{7}$，
∴⊙O的半徑長為：$\frac{24}{7}$．

點評 此題考查了切線的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)．注意準(zhǔn)確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵．