Question

18．已知點(diǎn)A（0，2），B（-1，0），C（2，0），P為線段AO上一動(dòng)點(diǎn)．
（1）求AP+$\sqrt{2}$BP的最小值及點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）求AP+$\sqrt{5}$CP的最小值及點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，將線段BP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到相等BE，作EM⊥y軸于M，BF⊥ME于F．由△BOP≌△BFE，推出OB=BF=OM=1，所以點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)E在直線y=-1時(shí)運(yùn)動(dòng)，因?yàn)镻A+$\sqrt{2}$PB=AP+PE，屬于欲求PA+$\sqrt{2}$PB的最小值，就是求AP+PE的最小值，所以當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)M重合時(shí)，根據(jù)垂線段最短，可知AP+PE的最小值=AM．
（2）如圖2中，作CE⊥PC，使得CE=2PC，連接PE，則PE=$\sqrt{5}$PC．作EF⊥x軸于F．由△POC∽△CFE，推出$\frac{OC}{EF}$=$\frac{PC}{EC}$=$\frac{1}{2}$，由OC=2，推出EF=OM=4，所以點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)E在直線y=-4上運(yùn)動(dòng)，所以AP+$\sqrt{5}$PC=AP+PE，所以當(dāng)E與M重合時(shí)，AP+$\sqrt{5}$PC的最小值為線段AM的長(zhǎng)．

解答 解：（1）如圖1中，將線段BP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到相等BE，作EM⊥y軸于M，BF⊥ME于F．

∵∠BFM=∠FMO=∠BOM=90°，
∴四邊形OBFM是矩形，
∴∠OBF=∠PBE=90°，
∴∠PBO=∠FBE，
在△BOP和△BFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PBO=∠FBE}\\{∠BOP=∠BFE}\\{BP=BE}\end{array}\right.$，
∴△BOP≌△BFE，
∴OB=BF=OM=1，
∴點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)E在直線y=-1時(shí)運(yùn)動(dòng)，
∵PE=$\sqrt{2}$PB，
∴PA+$\sqrt{2}$PB=AP+PE，
∴欲求PA+$\sqrt{2}$PB的最小值，就是求AP+PE的最小值，
∴當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)M重合時(shí)，根據(jù)垂線段最短，可知AP+PE的最小值=AM=OA+OM=3，
∴AP+$\sqrt{2}$BP的最小值為3，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，1）．

（2）如圖2中，作CE⊥PC，使得CE=2PC，連接PE，則PE=$\sqrt{5}$PC．作EF⊥x軸于F．

∵∠PCO+∠ECF=90°，∠ECF+∠FEC=90°，
∴∠PCO=∠FEC，∵∠POC=∠EFC=90°，
∴△POC∽△CFE，
∴$\frac{OC}{EF}$=$\frac{PC}{EC}$=$\frac{1}{2}$，∵OC=2，
∴EF=OM=4，
∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)E在直線y=-4上運(yùn)動(dòng)，
∴AP+$\sqrt{5}$PC=AP+PE，
∴當(dāng)E與M重合時(shí)，AP+$\sqrt{5}$PC最小值為線段AM的長(zhǎng)，
∴AP+$\sqrt{5}$CP的最小值為6，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軸對(duì)稱-最短問(wèn)題、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加輔助線構(gòu)造全等三角形或相似三角形，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為垂線段最短，屬于中考?jí)狠S題．