Question

8．在平面直角坐標系xOy中，直線y=x與雙曲線y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的一個交點為A（$\sqrt{6}$，m）．
（1）求k的值；
（2）將直線y=x向上平移1個單位長度，與x軸、y軸分別交于點C、D，與雙曲線y=$\frac{k}{x}$（k≠0）在第一象限的交點記為Q．試猜想線段DQ和CD的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)直線y=x與雙曲線y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的一個交點為A（$\sqrt{6}$，m），求得點A的坐標，進而代入反比例函數(shù)解析式得出k的值；
（2）先根據(jù)平移后的直線解析式求得C（-1，0），D（0，1），再令x+1=$\frac{6}{x}$，求得Q（2，3），進而得出線段DQ和CD的數(shù)量關(guān)系．

解答 解：（1）把A（$\sqrt{6}$，m）代入直線y=x，可得
m=$\sqrt{6}$，
∴A（$\sqrt{6}$，$\sqrt{6}$），
把A（$\sqrt{6}$，$\sqrt{6}$）代入雙曲線y=$\frac{k}{x}$，可得
k=6；

（2）DQ=2CD，
證明：將直線y=x向上平移1個單位長度，可得y=x+1，
∴C（-1，0），D（0，1），
即CO=DO=1，
∴CD=$\sqrt{2}$，
令x+1=$\frac{6}{x}$，解得x=2或-3，
∵點Q在第一象限，
∴Q（2，3），
∴DQ=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴DQ=2CD．

點評 本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，由點的坐標求函數(shù)的解析式以及直線平移規(guī)律．求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標，把兩個函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解．