Question

12．如圖，在⊙O中，AB為直徑，PC為弦，且PA=PC，PC交AB于M，若∠APC=45°，求$\frac{AM}{BM}$的值．

Answer 1

分析 連接AC，BC，PB，由圓周角定理得到∠ABC=∠APC=45°，由于AB為直徑，得到∠ACB=∠APB=90°，由此有∠BAC=∠BPC=45°，得到∠BAC=∠APC，AB=BC，可證得△ACM∽△PCA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{AM}{PA}=\frac{AC}{PC}$，即AM=$\frac{PA•AC}{PC}$，同理：BM=$\frac{PB•BC}{PC}$，兩式相除即可得到結(jié)論．

解答 解：連接AC，BC，PB，
∴∠ABC=∠APC=45°，
∵AB為直徑，
∴∠ACB=∠APB=90°，
∴∠BAC=∠BPC=45°，
∴∠BAC=∠APC，AB=BC，
∵∠ACM=∠PCA，
∴△ACM∽△PCA，
∴$\frac{AM}{PA}=\frac{AC}{PC}$，即AM=$\frac{PA•AC}{PC}$，
同理：BM=$\frac{PB•BC}{PC}$，
∴$\frac{AM}{BM}$=$\frac{\frac{PA•AC}{PC}}{\frac{PB•BC}{PC}}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確作出輔助線，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．