Question

4．在直角邊分別為3cm和4cm的直角三角形中，作一菱形，使菱形一個內(nèi)角恰好是三角形的一個角．其余頂點都在三角形的邊上．求所作菱形的邊長．（畫出圖形并直接寫出結(jié)果即可）

Answer 1

分析 分三種情況，根據(jù)題意畫出圖形，設(shè)出菱形的邊長為x，再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，列出比例式進行解答．

解答 解：設(shè)Rt△ABC中，AC=4，BC=3，∠C=90°，則AB=5，
如圖1，設(shè)DE=x，
∵四邊形ADEF是菱形，
∴DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴$\frac{DE}{AB}$=$\frac{CD}{CA}$，即 $\frac{x}{5}$=$\frac{4-x}{4}$，
解得x=$\frac{20}{9}$cm；
如圖2，設(shè)EF=x，
由DE∥BC可知△CEF∽△CAB，
∴$\frac{EF}{AB}$=$\frac{CF}{CB}$，即$\frac{x}{5}$=$\frac{3-x}{3}$，
解得x=$\frac{15}{8}$cm；
如圖3，設(shè)EF=x，
由EF∥BC可得△AEF∽△ABC，
∴$\frac{AF}{AC}$=$\frac{EF}{BC}$，即 $\frac{x}{3}$=$\frac{4-x}{4}$，
解得x=$\frac{12}{7}$cm．
故所作菱形的邊長為：$\frac{20}{9}$cm、$\frac{15}{8}$cm、$\frac{12}{7}$cm．

點評 本題考查的是相似三角形的應(yīng)用，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例進行解答．解題時注意：菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；菱形的四條邊都相等．