Question

3．已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)為（1，-3），且拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0），與x軸交于另一點(diǎn)B，與y軸交與點(diǎn)C．
（1）求這條拋物線的函數(shù)關(guān)系式及點(diǎn)B、C的坐標(biāo)；
（2）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△BCP是以BC為直角邊的直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）已知在對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)M，使得△AMC的周長最小，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)（1，-$\frac{3}{2}$）．

Answer 1

分析 （1）設(shè)拋物線頂點(diǎn)式解析式y(tǒng)=a（x-1）²-3，再把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入求出a的值，即可得解，令y=0，解關(guān)于x的一元二次方程即可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再令x=0求出y的值，從而得到點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）分①點(diǎn)P在BC的上方，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)E，求出△BOC和△PEB相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出PE的長，然后寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；②點(diǎn)P在BC的下方，過點(diǎn)P作PD⊥y軸于D，求出△BOC和△CDP相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出CD，再求出OD，然后寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可；
（3）根據(jù)軸對(duì)稱確定最短路線問題，BC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)M，利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求出直線BC的解析式，然后令x=1求解即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)．

解答 解：∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-3），
∴設(shè)拋物線頂點(diǎn)式解析式y(tǒng)=a（x-1）²-3，
∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（-1，0），
∴a（-1-1）²-3=0，
解得a=$\frac{3}{4}$，
所以，拋物線的解析式為y=$\frac{3}{4}$（x-1）²-3，
令y=0，則$\frac{3}{4}$（x-1）²-3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
所以，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），
令x=0，則y=$\frac{3}{4}$（0-1）²-3=-$\frac{9}{4}$，
所以，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-$\frac{9}{4}$）；

（2）∵B（3，0），C（0，-$\frac{9}{4}$），
∴OB=3，OC=$\frac{9}{4}$，
如圖，①點(diǎn)P在BC的上方，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸相交于點(diǎn)E，
則BE=3-1=2，
∵∠PBE+∠OBC=90°，
∠P+∠PBE=90°，
∴∠P=∠OBC，
又∵∠PEB=∠BOC=90°，
∴△BOC∽△PEB，
∴$\frac{PE}{OB}$=$\frac{BE}{OC}$，
即$\frac{PE}{3}$=$\frac{2}{\frac{9}{4}}$，
解得PE=$\frac{8}{3}$，
所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，$\frac{8}{3}$）；
②點(diǎn)P在BC的下方，過點(diǎn)P作PD⊥y軸于D，
∵∠PCD+∠OCB=90°，
∠PCD+∠P=90°，
∴∠OCB=∠P，
又∵∠COB=∠PDC=90°，
∴△BOC∽△CDP，
∴$\frac{CD}{OB}$=$\frac{PD}{OC}$，
即$\frac{CD}{3}$=$\frac{1}{\frac{9}{4}}$，
解得CD=$\frac{4}{3}$，
所以，OD=$\frac{9}{4}$+$\frac{4}{3}$=$\frac{43}{12}$，
所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，-$\frac{43}{12}$），
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，$\frac{8}{3}$）或（1，-$\frac{43}{12}$）；

（3）由軸對(duì)稱確定最短路線問題可知BC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)M，
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=-\frac{9}{4}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{4}}\\{b=-\frac{9}{4}}\end{array}\right.$，
所以，y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{9}{4}$，
x=1時(shí)，y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{9}{4}$=-$\frac{3}{2}$，
所以，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，-$\frac{3}{2}$）．
故答案為：（1，-$\frac{3}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，軸對(duì)稱確定最短路線問題，難點(diǎn)在于（2）要分類討論．