Question

15．如圖所示，二次函數(shù)y=-x²+2x+m的圖象與x軸的一個交點為A（-1，0），另一個交點為B，且與y軸交于點C．
（1）求m的值，求點B的坐標(biāo)；
（2）在拋物線的對稱軸上有一點P，使PA+PC的值最小，求點P的坐標(biāo)；
（3）該二次函數(shù)圖象上是否有一點Q（x，y）使S_△ABQ=S_△ABC，求點Q的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由二次函數(shù)y=-x²+2x+m的圖象與x軸的一個交點為A（-1，0），利用待定系數(shù)法將點A的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式即可求得m的值；根據(jù)求得二次函數(shù)的解析式，然后將y=0代入函數(shù)解析式，即可求得點B的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)函數(shù)解析式求得對稱軸，由二次函數(shù)圖象上有一點P，又由PA+PC的值最小，連接CB交對稱軸于點P，求得BC的解析式即可求得點P的坐標(biāo)．
（3）根據(jù)函數(shù)解析式求得點C的坐標(biāo)，由二次函數(shù)圖象上有一點Q（x，y），又由S_△ABQ=S_△ABC，可知點Q與點C的縱坐標(biāo)的絕對值相等，代入函數(shù)的解析式即可求得點Q的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵二次函數(shù)y=-x²+2x+m的圖象與x軸的一個交點為A（-1，0），
∴將點B（-1，0）代入y=-x²+2x+m中，得：
-1-2+m=0，
解得：m=3；
∵二次函數(shù)的解析式為：y=-x²+2x+3，
∴當(dāng)y=0時，-x²+2x+3=0，
解得：x=3或x=-1，
∴B（-1，0）；
（2）設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b，有：
$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=3}\end{array}\right.$，
故直線BC：y=-x+3；
拋物線y=-x²+2x+3的對稱軸為x=1，
連接BC交對稱軸于點P，如圖，
設(shè)點P坐標(biāo)（1，t），
把（1，t）代入y=-x+3得t=2，
故點P坐標(biāo)為P（1，2）；
（3）∵當(dāng)x=0時，y=3，
∴C（0，3），
∵設(shè)二次函數(shù)圖象上有一點Q（x，y）使S_△ABQ=S_△ABC，
∴AB•|y_Q|=AB•|y_C|，
∴|y_Q|=|y_C|，
∵y_C=3，
∴|y_Q|=3，
∴y_Q=±3，
∴當(dāng)y=3時，-x²+2x+3=3，
解得：x=0或x=2，
∴點Q的坐標(biāo)為（2，3）．
∴當(dāng)y=-3時，-x²+2x+3=-3，
解得：x=1+$\sqrt{7}$或x=1-$\sqrt{7}$，
∴點Q的坐標(biāo)為（1+$\sqrt{7}$，-3）或（1-$\sqrt{7}$，-3）．
綜上所述，Q點坐標(biāo)為Q₁（2，3），Q₂（1+$\sqrt{7}$，-3），Q₃（1-$\sqrt{7}$，-3）．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，考查了一元二次方程的解法以及三角形的面積問題等知識．此題綜合性較強，但難度不大，屬于中檔題，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，注意數(shù)形結(jié)合與方程思想的應(yīng)用．