Question

如圖，已知拋物線y=-x²+6x-5．
（1）若拋物線y=ax²+bx+c與y=-x²+6x-5關(guān)于原點O中心對稱，求此拋物線的解析式；
（2）根據(jù)（1）的解題結(jié)果，合理猜想：直接寫出拋物線y=a（x-m）²+n關(guān)于原點O中心對稱的二次函數(shù)解析式（不要求寫推導(dǎo)過程）；
（3）若（1）中拋物線y=ax²+bx+c與y軸交于點M，與x軸交于點A和點B（點A在左），點C是線段AB的中點，求sin∠CMA；
（4）在（3）的條件下，在拋物線y=ax²+bx+c上是否存在點P，使△OPA的面積與△MCA的面積相等？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)中心對稱即可求得y=ax²+bx+c中a，b，c的值；
（2）根據(jù)（1）中，y=-x²+6x-5關(guān)于原點O中心對稱的解析式為y=x²+6x+5，可得拋物線y=a（x-m）²+n關(guān)于原點O中心對稱的二次函數(shù)解析式為y=-a（x+m）²-n；
（3）過C作CG⊥AM，可以求得CG的值，根據(jù)CG和CM的值即可解題；
（4）根據(jù)題意可知只要P點到x軸的距離為

8

5

即可，取y=±

8

5

即可求得相應(yīng)的P點．

解答：解：（1）y=-x²+6x-5頂點為（3，4）與x交點為（1，0），（5，0）
拋物線y=ax²+bx+c與y=-x²+6x-5關(guān)于原點O中心對稱，
∴拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過（-3，-4）（-5，0），（-1，0）
∴拋物線y=ax²+bx+c=x²+6x+5；
（2）y=-a（x+m）²-n；
（3）過C作CG⊥AM，

y=x²+6x+5交x軸與A，B點，C為AB中點，
∴A（-5，0），B（-1，0），C（-3，0），M（0，4）
∴AM=

41

，CM=5，
根據(jù)三角形面積相等可得CG•AM=AC•OM，CG=

8

41

，
∴求sin∠CMA=

CG

CM

=

8

5 41

；
（4）∵△MCA的面積=

1

2

AC•OM=4，
∴△OPA的面積與△MCA的面積相等，即P點到x軸距離為為

2×4

5

=

8

5

即可，
y=x²+6x+5=

8

5

或y=x²+6x+5=-

8

5

，
解得x=

-15± 145

5

或

-15±2 15

5

時成立，
故P點坐標可以為（

-15+ 145

5

，

8

5

），（

-15- 145

5

，

8

5

），（

-15+2 15

5

，-

8

5

），（

-15-2 15

5

，-

8

5

）．

點評：本題考查了中心對稱性質(zhì)，考查了二次函數(shù)解析式的求解，考查了三角形內(nèi)角正弦值的計算，考查了二次函數(shù)的運用．