Question

如圖，△ABC和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，AC=BC，DC=EC，點(diǎn)A、D、E在同一直線上，CM⊥DE，垂足M，連接BE．
（1）求∠AEB的度數(shù)；
（2）證明：CM=

1

2

（AE-BE）．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：（1）求出∠ACD=∠BCE=90°-∠DCB，根據(jù)SAS推出△ACD≌△BCE，求出∠CEB=∠CDA，求出∠CDA=135°，即可求出答案；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出，AD=BE，根據(jù)燉的魚三角形性質(zhì)的DM=ME，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)求出CM=

1

2

DE即可．

解答：解：（1）∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACD=∠BCE=90°-∠DCB，
在△ACD和△BCE中

AC=BC ∠ACD=∠BCE DC=CE

∴△ACD≌△BCE，
∴∠CEB=∠CDA，
∵△DCE是等腰直角三角形，
∴∠DCE=90°，∠CED=45°，
∴∠CEB=∠CDA=90°+45°=135°，
∴∠AEB=135°-45°=90°；

（2）證明：∵△ACD≌△BCE，
∴AD=BE，
∴AE-BE=DE，
∵DC=CE，∠DCE=90°，CM⊥DE，
∴DM=ME，
∴CM=

1

2

DE=

1

2

（AE-AD）=

1

2

（AE-BE）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰直角三角形，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出△ACD≌△BCE，題目綜合性比強(qiáng)，有一定的難度．