Question

2．已知，直線AB分別交x、y軸于A（4，0）、B兩點(diǎn)，C（-4，a）為直線y=-x與AB的公共點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）已知?jiǎng)狱c(diǎn)M在直線y=x+6上，是否存在點(diǎn)M使得S_△OMB=S_△OMA？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
（3）已知點(diǎn)E（0，8），P是x軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，Q是y軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，Q在點(diǎn)E上方，OP=EQ，QH是∠OQP的角平分線交直線CO于H．求OE，PQ，OH之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)C在直線y=-x上可得出a的值，從而得出C點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，代入A、C點(diǎn)的坐標(biāo)，由待定系數(shù)法即可求出直線AB的解析式，令x=0即可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，m+6）．由O、A、B、M點(diǎn)的坐標(biāo)結(jié)合三角形的面積公式即可找出關(guān)于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值，代入M點(diǎn)的坐標(biāo)中即可得出結(jié)論；
（3）設(shè)點(diǎn)H（t，-t），P（a，0），QH與x軸的交點(diǎn)為M，理由勾股定理即可得出PQ²=2a（a+8）+64，由QH是∠OQP的角平分線，利用角平分線的性質(zhì)即可得出$\frac{OM}{a+8}$=$\frac{a-OM}{PQ}$=$\frac{a}{a+8+PQ}$，結(jié)合$\frac{OM}{t}$=$\frac{OQ}{OQ+t}$，即可得出a（a+8）=t（PQ+8），即$\frac{P{Q}^{2}-64}{2}$=$\frac{OH（8+PQ）}{\sqrt{2}}$，整理后即是PQ=$\sqrt{2}$OH+8=$\sqrt{2}$OH+OE．

解答 解：（1）∵點(diǎn)C（-4，a）為直線y=-x上一點(diǎn)，
∴a=-1×（-4）=4，
∴點(diǎn)C（-4，4）．
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
將A、C坐標(biāo)分別代入直線AB的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{0=4k+b}\\{4=-4k+b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+2，
令x=0時(shí)，y=2，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，2）．
（2）假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，m+6）．
∵點(diǎn)A（4，0）、點(diǎn)B（0，2）、點(diǎn)M（m，m+6），
∴OA=4，OB=2，|M_x|=|m|，|M_y|=|m+6|，
∴S_△OMA=$\frac{1}{2}$OA•|M_y|=2|m+6|；
S_△OMB=$\frac{1}{2}$OB•|M_x|=|m|．
∵S_△OMB=S_△OMA，
∴2|m+6|=|m|，
∴2（m+6）=m或2（m+6）=-m，
解得：m₁=-12，m₂=-4．
∵-12+6=-6，-4+6=2，
∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（-12，-6）或（-4，2）．
故動(dòng)點(diǎn)M在直線y=x+6上，存在點(diǎn)M使得S_△OMB=S_△OMA，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-12，-6）或（-4，2）．
（3）設(shè)點(diǎn)H（t，-t），P（a，0），QH與x軸的交點(diǎn)為M，如圖所示，
∴OH=$\sqrt{2}$t，PQ²=（a+8）²+a²=2a（a+8）+64．
∵QH是∠OQP的角平分線，
∴$\frac{OM}{MP}$=$\frac{OQ}{PQ}$，即$\frac{OM}{a-OM}$=$\frac{a+8}{PQ}$，
∴$\frac{OM}{a+8}$=$\frac{a-OM}{PQ}$=$\frac{a}{a+8+PQ}$．
∵$\frac{OM}{t}$=$\frac{OQ}{OQ+t}$，即$\frac{OM}{a+8}$=$\frac{t}{a+8+t}$，
∴$\frac{a}{a+8+PQ}$=$\frac{t}{a+8+t}$，$\frac{a}{8+PQ}$=$\frac{t}{a+8}$，
∴a（a+8）=t（PQ+8），即$\frac{P{Q}^{2}-64}{2}$=$\frac{OH（8+PQ）}{\sqrt{2}}$，
∴PQ-8=$\sqrt{2}$OH，
∴PQ=$\sqrt{2}$OH+8=$\sqrt{2}$OH+OE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、三角形的面積公式、角平分線的性質(zhì)以及勾股定理，解題的關(guān)鍵是：（1）待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（2）根據(jù)三角形的面積相等得出關(guān)于m的一元一次方程；（3）通過角平分線的性質(zhì)以及勾股定理得出等式，整理變形即可得出結(jié)論．本題屬于中檔題，（1）（2）沒有難度；（3）難度不大，但用到知識(shí)點(diǎn)較多，而且分式的變形較繁瑣，屬于易丟分部分．