Question

3．如圖，已知AB=5，tanB=$\frac{4}{3}$，點(diǎn)P是射線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），作∠APD=∠B交射線AB于點(diǎn)D．
（1）若PD⊥AB，求BP的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)點(diǎn)D在邊AB上，且不與點(diǎn)B重合時(shí)，設(shè)BP=x，BD=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；
（3）若△BDP是等腰三角形，求BP的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)AP=4k，根據(jù)正切的定義用k表示出BP，根據(jù)勾股定理求出AB，根據(jù)題意計(jì)算即可；
（2）作AE⊥BC于E，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，得到y(tǒng)關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）分點(diǎn)D在線段AB上和點(diǎn)D在線段AB的延長(zhǎng)線上兩種情況，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)解答．

解答 解：（1）∵PD⊥AB，∠APD=∠B，
∴∠APB=90°，
設(shè)AP=4k，∵tanB=$\frac{4}{3}$，
∴BP=3k，
由勾股定理得，AB=5k，
∵AB=5，
∴k=1，
則BP=3k=3；
（2）作AE⊥BC于E，
∵AB=5，tanB=$\frac{4}{3}$，
∴AE=4，BE=3，
則PE=x-3，
由勾股定理得，AP=$\sqrt{A{E}^{2}+P{E}^{2}}$=$\sqrt{（x-3）^{2}+16}$，
∵∠APD=∠B，∠PAB=∠PAB，
∴△APD∽△ABP，
∴$\frac{AP}{AB}$=$\frac{AD}{AP}$，即（x-3）²+16=（5-y）×5，
整理得，y=-$\frac{1}{5}$x²+$\frac{6}{5}$x（0＜x＜6）；
（3）當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上，BP=BD時(shí)，x=y，
即x=-$\frac{1}{5}$x²+$\frac{6}{5}$x，
解得，x=1；
DP=BD時(shí)，作DG⊥BP于G，
則BG=$\frac{1}{2}$BP=$\frac{1}{2}$x，
∴$\frac{\frac{1}{2}BG}{BD}$=$\frac{3}{5}$，則y=$\frac{5}{6}$x，
由題意得，$\frac{5}{6}$x=-$\frac{1}{5}$x²+$\frac{6}{5}$x，
解得，x₁=0（舍去），x₂=$\frac{11}{6}$；
當(dāng)DP=BP時(shí)，$\frac{\frac{1}{2}y}{x}$=$\frac{3}{5}$，
解得，y=$\frac{6}{5}$x，
則$\frac{6}{5}$x=-$\frac{1}{5}$x²+$\frac{6}{5}$x，
解得，x=0；
如圖3，當(dāng)點(diǎn)D在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，
作PQ⊥AB交BA的延長(zhǎng)線于Q，
設(shè)PQ=4k，則QB=3k，
由勾股定理得，PB=5k，則BD=5k，AQ=3k-5，
∵∴△APD∽△ABP，
∴$\frac{AP}{AB}$=$\frac{AD}{AP}$，即AP²=AD•AB，
∴（4k）²+（3k-5）²=5×（5+5k），
解得，k=$\frac{11}{5}$，
則PB=5k=11，
綜上所述，當(dāng)BP=1、$\frac{11}{6}$、$\frac{11}{5}$時(shí)，△BDP是等腰三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，掌握相似三角形的判定定理、靈活運(yùn)用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵．