Question

如圖，點(diǎn)P、Q分別是邊長(zhǎng)為4cm的等邊△ABC的邊AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)（其中P、Q不與端點(diǎn)重合），點(diǎn)P從頂點(diǎn)A，點(diǎn)Q從頂點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，且它們的速度都為1cm/s，連接AQ、CP交于點(diǎn)M，則在P、Q運(yùn)動(dòng)的過程中，下列結(jié)論：（1）BP=CM；（2）△ABQ≌△CAP；（3）∠CMQ的度數(shù)始終等于60°；（4）當(dāng)?shù)?span id="jk5p347" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

4

3

秒或第

8

3

秒時(shí)，△PBQ為直角三角形．其中正確的結(jié)論有（　　）

• A、1個(gè)
• B、2個(gè)
• C、3個(gè)
• D、4個(gè)

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：

分析：易證△ABQ≌△CAP，可得∠AQB=∠CPA，即可求得∠AMP=∠B=60°，易證∠CQM≠60°，可得CQ≠CM，根據(jù)t的值易求BP，BQ的長(zhǎng)，即可求得PQ的長(zhǎng)，即可解題．

解答：解：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=AC，∠BAC=∠B=∠ACB=60°，
根據(jù)題意得：AP=BQ，
在△ABQ和△CAP中，

AB=AC ∠B=∠CAP BQ=AP

，
∴△ABQ≌△CAP（SAS），（2）正確；
∴∠AQB=∠CPA，
∵∠BAQ+∠APC+∠AMP=180°，∠BAQ+∠B+∠AQB=180°，
∴∠AMP=∠B=60°，
∴∠QMC=60°，（3）正確；
∵∠QMC=60°，∠QCM≠60°，
∴∠CQM≠60°，
∴CQ≠CM，
∵BP=CQ，
∴CM≠BP，（1）錯(cuò)誤；
當(dāng)t=

4

3

時(shí)，BQ=

4

3

，BP=4-

4

3

=

8

3

，

∵PQ²=BP²+BQ²-2BP•BQcos60°，
∴PQ=

4 3

3

，
∴△PBQ為直角三角形，
同理t=

8

3

時(shí)，△PBQ為直角三角形仍然成立，（4）正確；
故選 C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)，本題中求證△ABQ≌△CAP是解題的關(guān)鍵．