Question

1．如圖，在直角坐標系中，OA=3，OC=4，點B是y軸上一動點，以AC為對角線作平行四邊形ABCD．
（1）求直線AC的函數(shù)解析式；
（2）設(shè)點B（0，m），記平行四邊形ABCD的面積為S，請寫出S與m的函數(shù)關(guān)式，并求當BD取得最小值時的S的值；
（3）當點B在y軸上運動，在使得平行四邊形ABCD是菱形的同時，在x軸取一點P，使得△PAB是等腰三角形，請直接寫出點P的坐標．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)OA、OC的長度結(jié)合圖形可得出點A、C的坐標，再利用待定系數(shù)法即可求出直線AC的解析式；
（2）根據(jù)點B的坐標可得出BC的長度，結(jié)合平行四邊形的面積公式即可得出S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)AD∥y軸即可找出當BD最短時m的值，將其代入S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式中即可得出結(jié)論；
（3）根據(jù)菱形的性質(zhì)找出m的值，從而找出點B的坐標，設(shè)點P的坐標為（n，0），根據(jù)兩點間的距離公式找出AP、BP、AB的長度，分AP=BP、AP=AB、BP=AB三種情況求出n值，再將其代入點P的坐標中即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵OA=3，OC=4，
∴A（-3，0）、C（0，4）．
設(shè)直線AC的函數(shù)解析式為y=kx+b，
將點A（-3，0）、C（0，4）代入y=kx+b中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{0=-3k+b}\\{4=b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{4}{3}}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直線AC的函數(shù)解析式為y=$\frac{4}{3}$x+4．
（2）∵點B（0，m），四邊形ABCD為以AC為對角線的平行四邊形，
∴m＜4，BC=4-m，
∴S=BC•OA=-3m+12（m＜4）．
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴當BD⊥y軸時，BD最�。ㄈ鐖D1）．
∵AD∥OB，AO⊥OB，DA⊥OB，
∴四邊形AOBD為矩形，
∴AD=OB=BC，
∴點B為OC的中點，即m=$\frac{4}{2}$=2，
此時S=-3×2+12=6．
∴S與m的函數(shù)關(guān)式為S=-3m+12（m＜4），當BD取得最小值時的S的值為6．
（3）∵平行四邊形ABCD是菱形，
∴AB=BC．
∵AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{9+{m}^{2}}$，BC=4-m，
∴$\sqrt{9+{m}^{2}}$=4-m，
解得：m=$\frac{7}{8}$，
∴B（0，$\frac{7}{8}$）．
設(shè)點P的坐標為（n，0），
∵A（-3，0），B（0，$\frac{7}{8}$），
∴PA=|n+3|，PB=$\sqrt{{n}^{2}+\frac{49}{64}}$，AB=4-$\frac{7}{8}$=$\frac{25}{8}$．
△PAB是等腰三角形分三種情況：
①當PA=PB時，有|n+3|=$\sqrt{{n}^{2}+\frac{49}{64}}$，
解得：n=-$\frac{527}{384}$，
此時點P的坐標為（-$\frac{527}{384}$，0）；
②當PA=AB時，有|n+3|=$\frac{25}{8}$，
解得：n₁=$\frac{1}{8}$，n₂=-$\frac{49}{8}$，
此時點P的坐標為（-$\frac{49}{8}$，0）或（$\frac{1}{8}$，0）；
③當PB=AB時，有$\sqrt{{n}^{2}+\frac{49}{64}}$=$\frac{25}{8}$，
解得：n₃=-3（舍去），n₄=3，
此時點P的坐標為（3，0）．
綜上可知：點P的坐標為（-$\frac{527}{384}$，0）、（-$\frac{49}{8}$，0）、（$\frac{1}{8}$，0）或（3，0）．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、平行四邊形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；（2）根據(jù)平行四邊形的面積公式找出S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式；（3）分三種情況討論．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時，熟練掌握多邊形的性質(zhì)是關(guān)鍵．