Question

問題情境：將一副直角三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）按圖（1）所示的方式擺放，其中∠ACB=90°，CA=CB，∠FDE=90°，∠E=30°，O是AB的中點，點D與點O重合，DF⊥AC于點M，DE⊥BC于點N．

（1）試判斷線段OM與ON的數(shù)量關系，并說明理由；
（2）將圖（1）中的Rt△DEF沿著射線BA的方向平移至如圖（2）的位置，使點D落在BA的延長線上，F(xiàn)D的延長線與CA的延長線垂直相交于點M，BC的延長線與DE垂直相交于點N，連結OM、ON．試判斷線段OM、ON的數(shù)量關系與位置關系，并寫出證明過程．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質

專題：

分析：（1）根據(jù)等腰三角形的性質，可得兩底角相等，根據(jù)線段中點的性質，可得OA=OB，根據(jù)AAS，可得兩個三角形全等，根據(jù)全等三角形的性質，可得結果；
（2）根據(jù)四個角是直角的四邊形是矩形，可得四邊形DMCN是矩形，根據(jù)矩形的性質，可得對邊相等，根據(jù)等腰三角形的判定，可得DM與AM的關系，根據(jù)根據(jù)SAS，可得三角形全等，根據(jù)全等三角形的性質，可得對應邊相等，對應角相等，根據(jù)同角的余角相等，可得答案．

解答：證明：（1）∵CA=CB，
∴∠A=∠B，
∵O是AB的中點，
∴OA=OB．
∵DF⊥AC，DE⊥BC，
∴∠AMO=∠BNO=90°，
在△OMA和△ONB中，

∠A=∠B ∠ANO=∠BNO AO=BO

，
∴△OMA≌△ONB（AAS），
∴OM=ON．
（2）解：OM=ON，OM⊥ON．
理由如下：連結OC，
∵BN⊥DE，F(xiàn)M⊥CM，CM⊥BN，
∴四邊形DMCN是矩形，
∴CN=DM，
∵∠DAM=∠CAB=45°，∠DMA=90°，
∴DM=MA，
∴CN=MA
∵∠ACB=90°，O為AB中點，
∴CO=

1

2

AB=AO，∠BCO=45°，CO⊥AB，
∴∠NCO=∠MAO=135°，
在△NOC和△MOA，
中

NC=MA ∠NCO=∠MAO OC=OA

，
∴△NOC≌△MOA（SAS），
∴OM=ON，∠AOM=∠NOC，
∵∠NOC+∠AON=90°，
∴∠AOM+∠AON=90°，
∴∠MON=90°，
即OM⊥ON．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質，（1）由SAS證明三角形全等，再由全等三角形的性質，得出答案；（2）先證明矩形，再由SAS證明三角形全等，證明全等三角形的對應邊相等、對應角相等，同角的余角相等．